专题检测（十三）概率A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A. B.C.D.解析：选D 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.2.已知定义在区间[－3，3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为( )A.B.C.D.解析：选B ∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.由f(x)≥4，得2x＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3，3]，故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.故选B.3.(2019·广东六校第一次联考)在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，记向量m＝(a，4b)，n＝(4a，b)，则m·n≥4π2的概率为( )A.1－B.1－\nC.1－D.1－解析：选B 在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，则点(a，b)在如图所示的正方形内部及其边界上.因为m·n＝4a2＋4b2≥4π2，所以a2＋b2≥π2，满足条件的点(a，b)在以原点为圆心，π为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以m·n≥4π2的概率P＝＝1－，故选B.4.(2019·成都第一次诊断性检测)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为( )A.B.C.D.解析：选C 将齐王的上等、中等、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b1，b2，b3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P＝＝，故选C.5.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不超过1的概率是( )A.0.8 B.0.6C.0.4D.0.2解析：选A 设事件Q为“所选3人中女生人数不超过1”，事件M为“所选3人中女生人数为1”，事件N为“所选3人中女生人数为0”，则事件M，N是互斥事件.4名男生分别记为1，2，3，4；2名女生分别记为a，b.从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，a}，{1，2，b}，{1，3，4}，{1，3，a}，{1，3，b}，{1，4，a}，{1，4，b}，{1，a，b}，{2，3，4}，{2，3，a}，{2，3，b}，{2，4，a}，{2，4，b}，{2，a，b}，{3，4，a}，{3，4，b}，{3，a，b}，{4，a，b}.事件M所含的基本事件分别为{1，2，a}，{1，2，b}，{1，3，a}，{1，3，b}，{1，4，\na}，{1，4，b}，{2，3，a}，{2，3，b}，{2，4，a}，{2，4，b}，{3，4，a}，{3，4，b}，共12个，所以P(M)＝＝；事件N所含的基本事件分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，共4个，所以P(N)＝＝；所以事件Q的概率为P(Q)＝P(M)＋P(N)＝＋＝0.8，故选A.6.如图(1)所示的风车是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆、胶泥瓣儿和彩纸制成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图(2)是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.B.C.D.解析：选B 设白色的等腰直角三角形的斜边长为2，则白色的等腰直角三角形直角边的长为，所以白色部分的面积为S1＝4×××＝4，易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为1，所以阴影部分的面积为S2＝4××1×1＝2，由几何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为P＝＝＝.二、填空题7.一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等).若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________.解析：由1，2，3组成的三位自然数可能为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有6＋6＋6＋6＝24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.\n答案：8.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x甲，x乙，则x甲＞x乙的概率是________.解析：设被污损的数字为x，由茎叶图知x乙＝90，x甲＝89＋，污损处可取数字0，1，2，…，9，共10种，而x甲＞x乙时，89＋＞90，x∈N，污损处对应的数字有6，7，8，9，共4种，故x甲＞x乙的概率为＝.答案：9.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为________.解析：因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，所以三棱锥B1A1BC1的体积··a·a·a＝a3，正方体ABCDA1B1C1D1的体积为a3，所以在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1A1BC1内的概率为＝.答案：三、解答题10.(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工ABCDEF\n项目 子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种.②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种.所以事件M发生的概率P(M)＝.11.(2019·安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：A类轿车B类轿车C类轿车舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4\n，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为x，求|xi－x|≤0.5的概率.解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2000，则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得＝，得a＝2，所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个.故P(E)＝，即所求的概率为.(3)样本平均数x＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－x|≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个.所以P(D)＝＝，即所求的概率为.12.已知二次函数f(x)＝ax2－4bx＋2.(1)任取a∈{1，2，3}，b∈{－1，1，2，3，4}，记“f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”为事件A，求A发生的概率.(2)任取(a，b)∈{(a，b)|a＋4b－6≤0，a>0，b>0}，记“关于x的方程f(x)＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率.解：(1)因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5＝15个.因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，若事件A发生，则a>0且≤1.数对(a，b)的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，(3，－1)，(3，1)共5种.所以P(A)＝＝.(2)集合{(a，b)|a＋4b－6≤0，a>0，b>0}对应的平面区域为Rt△AOB，如图，其中点A(6，\n0)，B，则△AOB的面积为××6＝.若事件B发生，则f(1)<0，即a－4b＋2<0.所以事件B对应的平面区域为△BCD.由得交点坐标为D(2，1).又C，则△BCD的面积为××2＝1.所以P(B)＝＝.B组——大题专攻强化练1.为了从某校甲、乙两名学生中选拔出一名学生参加全国中学生奥林匹克数学竞赛，现对这两名学生以往的若干次数学竞赛成绩进行分析，数据如下：(1)请你从这两名学生的数学成绩的平均水平和稳定性角度进行分析，判断应选择哪名学生参加竞赛；(2)请你通过该组数据中甲、乙两名学生的数学成绩在x－s与x＋s之间的概率大小进行选择，请给出你的选择结果；(3)按照第(1)问的选取标准，为了迎接竞赛，学校决定对所选学生以往的若干次数学竞赛试卷进行分析，每位老师负责分析其中的两张试卷，求陈老师为该生分析的数学试卷分数都在88分以上的概率.参考数据：≈8.2，≈8.0，≈7.9，≈8.7.解：(1)平均值：x甲＝＝82.4，x乙＝＝82.4，\nx甲＝x乙.样本方差：s＝[(72－82.4)2＋(74－82.4)2＋…＋(95－82.4)2＋(96－82.4)2]＝67.44，s＝[(70－82.4)2＋(71－82.4)2＋…＋(92－82.4)2＋(93－82.4)2]＝75.44，由于s＜s，所以甲同学的成绩相对稳定，因此派甲同学参加比赛.(2)由于x甲＝x乙＝82.4，s甲＝＝≈8.2，s乙＝＝≈8.7，所以x甲＋s甲＝90.6，x甲－s甲＝74.2，在x甲－s甲与x甲＋s甲之间的成绩有75，76，80，82，85，89，所以P甲＝＝，x乙＋s乙＝91.1，x乙－s乙＝73.7，在x乙－s乙与x乙＋s乙之间的成绩有76，85，87，88，90，所以P乙＝＝，因为＞，所以派甲同学去参加比赛.(3)从10份试卷中任意抽取2份共有45种取法，2份试卷的分数均在88分以上的有(89，95)，(89，96)，(95，96)，共3种，故陈老师为该生分析的数学试卷分数都在88分以上的概率为＝.2.(2019·济南市学习质量评估)某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品(不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价).经统计，决定退货的客户人数占总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.(1)请完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”？对性能满意对性能不满意总计购买产品不购买产品总计(2)该企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回地进行抽取，每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，\nP(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：(1)设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为x，则不购买产品的人数为2x，由此并结合题意可列出表：对性能满意对性能不满意总计购买产品x50不购买产品2x50总计3x＋103x100由表可得3x＋10＋3x＝100，所以x＝15.完成2×2列联表为对性能满意对性能不满意总计购买产品351550不购买产品203050总计5545100所以K2＝＝≈9.091＞6.635，所以有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.(2)由题意得，参加座谈的6位客户中购买产品的人数为2，退货的人数为4.“6位客户中购买产品的客户抽取奖券”包含的基本事件有(200，200)，(200，400)，(200，600)，(200，800)，(400，200)，(400，400)，(400，600)，(400，800)，(600，200)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共16个.设事件A为“6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”，则事件A包含的基本事件有(200，800)，(400，600)，(400，800)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共10个，则P(A)＝＝.\n所以6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是.3.(2019·江西省五校协作体试题)某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，成绩为1至10分，随机调阅了A，B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：A校样本数据条形图B校样本数据统计表成绩/分12345678910人数/个000912219630(1)计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.解：(1)从A校样本数据的条形图可知，成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校样本数据的均值为xA＝＝6(分)，A校样本数据的方差为s＝×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5.从B校样本数据统计表可知，B校样本数据的均值为xB＝＝6(分)，B校样本数据的方差为s＝×[9×(4－6)2＋12×(5－6)2＋21×(6－6)2＋9×(7－6)2＋6×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.8.因为xA＝xB，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又s＜s，所以A校学生的计算机成绩比较集中，总体得分情况比B校好.\n(2)依题意，从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为×12＝4，分别设为a，b，c，d；从成绩为8分的学生中应抽取的人数为×3＝1，设为e；从成绩为9分的学生中应抽取的人数为×3＝1，设为f.所有基本事件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个，其中满足条件的基本事件有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9个，所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15分的概率P＝＝.4.(2019·湖南省湘东六校联考)某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，如表所示：试销单价x/元456789产品销量y/件q8483807568已知y＝i＝80.(1)求q的值；(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(元)的线性回归方程y＝x＋；(3)用i表示用正确的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值，当|i－yi|≤1时，将销售数据(xi，yi)称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率.解：(1)由y＝i＝80，\n得＝80，解得q＝90.所以＝＝－4，＝80＋4×6.5＝106，所以所求的线性回归方程为＝－4x＋106.(3)由(2)知，当x1＝4时，1＝90；当x2＝5时，2＝86；当x3＝6时，3＝82；当x4＝7时，4＝78；当x5＝8时，5＝74；当x6＝9时，6＝70.与销售数据对比可知满足|i－yi|≤1(i＝1，2，…，6)的共有3个：(4，90)，(6，83)，(8，75).从6个销售数据中任取2个的所有可能结果有＝15(种)，其中2个销售数据中至少有一个是“好数据”的结果有3×3＋3＝12(种)，于是抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率为＝.
