第八章 立体几何第三讲 直线、平面平行的判定及性质练好题·考点自测1.[2021河南省名校联考]已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论正确的是( )A.α∥β,m∥α,则m∥βB.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βC.m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥βD.m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β2.[2018浙江,6,5分]已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.[2019全国卷Ⅱ,7,5分][理]设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面4.[2021湖南模拟]如图8-3-1,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB∥CD,∠DCB=90°,AB=AD=AA1=2DC,Q为棱CC1上一动点,过直线AQ的平面分别与棱BB1,DD1交于点P,R,则下列结论正确的是 .(填序号) ①对于任意的点Q,都有AP∥RQ;②对于任意的点Q,四边形APQR不可能为平行四边形;③存在点Q,使得直线BC∥平面APQR.\n拓展变式1.[2021河南省名校联考]如图8-3-5,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,PA⊥平面ABCD,过AD的平面与PC,PB分别交于点M,N,连接MN.图8-3-5(1)证明:BC∥MN.(2)已知PA=AD=AB=2BC,平面ADMN⊥平面PBC,求VP-BDMVP-ABCD的值.2.[2020合肥三检]如图8-3-8,边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,且BC∥B1C1,BC=2B1C1,A1C=3AC1.图8-3-8(1)求证:A1B1∥平面ABC.(2)求多面体ABC-A1B1C1的体积V.答案第三讲 直线、平面平行的判定及性质1.D 对于A选项,α∥β,m∥α,则m∥β或m⊂β,所以A选项错误.对于B选项,m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β或α和β相交,只有加上条件m与n相交时,\n才有结论α∥β,所以B选项错误.对于C选项,m⊥n,m⊥α,n∥β,则α∥β或α与β相交,所以C选项错误.对于D选项,m⊥α,m∥n,则n⊥α,又α∥β,则n⊥β,所以D选项正确.故选D.2.A 若m⊄α,n⊂α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,m⊄α,n⊂α,不一定能推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.3.B 对于A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确.综上可知选B.4.①②③ 因为AB∥CD,AA1∥DD1,所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1.因为平面APQR∩平面ABB1A1=AP,平面APQR∩平面DCC1D1=RQ,所以AP∥RQ,可知①正确.因为四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,所以平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行.因为平面APQR∩平面BCC1B1=PQ,平面APQR∩平面ADD1A1=AR,所以PQ与AR不平行,所以四边形APQR不可能为平行四边形,可知②正确.延长CD至M,使得DM=CD,则四边形ABCM是矩形,所以BC∥AM.当R,Q,M三点共线时,AM⊂平面APQR,所以BC∥平面APQR,可知③正确.故填①②③.1.(1)∵BC∥AD,BC⊄平面ADMN,AD⊂平面ADMN,∴BC∥平面ADMN.又BC⊂平面PBC,平面PBC∩平面ADMN=MN,∴BC∥MN.(2)∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.∵AN⊂平面PAB,∴BC⊥AN,又BC∥MN,∴AN⊥MN,∵平面ADMN⊥平面PBC,(题眼)平面ADMN∩平面PBC=MN,∴AN⊥平面PBC,∴AN⊥PB.∵PA=AB,∴N为PB的中点,又BC∥MN,∴PMPC=12,∴VP-BDM=VC-BDM=VM-BCD=12VP-BCD.设点P到平面ABCD的距离为h,则VP-BDMVP-ABCD=12VP-BCDVP-ABCD=12×13S△BCD·h13S四边形ABCD·h,又S△BCDS四边形ABCD=13,\n∴VP-BDMVP-ABCD=16.2.(1)∵四边形A1ACC1是菱形,∴AC∥A1C1.又AC⊂平面ABC,A1C1⊄平面ABC,∴A1C1∥平面ABC.同理得,B1C1∥平面ABC.∵A1C1,B1C1⊂平面A1B1C1,且A1C1∩B1C1=C1,∴平面ABC∥平面A1B1C1.又A1B1⊂平面A1B1C1,∴A1B1∥平面ABC.(2)∵AC∥A1C1,B1C1∥BC,∴∠A1C1B1=∠ACB=60°.∵A1C1=AC=2,2B1C1=BC=2,∴S△A1B1C1=12×1×2×32=32.在菱形A1ACC1中,∵A1C=3AC1,∴∠ACC1=60°,S四边形A1ACC1=2×2×32=23.图D8-3-1如图D8-3-1,取AC的中点M,连接BM,C1M,则BM⊥AC,C1M⊥AC.∵平面ABC⊥平面ACC1,∴BM⊥平面ACC1,C1M⊥平面ABC.由(1)知,平面ABC∥平面A1B1C1,∴点B到平面A1B1C1的距离为C1M=3.又点B到平面A1ACC1的距离为BM=3,连接BC1,则VABC-A1B1C1=VB-A1B1C1+VB-A1ACC1=13×(32+23)×3=52.
