第八章 立体几何第四节 直线与平面平行的判定及其性质A级·基础过关|固根基|1.(2019届成都模拟)已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是( )A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a⊥α，b⊂α，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b解析：选B 对于A，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故A错误；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错误；对于D，由a∥α，b∥α，得a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错误．2．已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A BC D解析：选A 对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB⊄平面\nMNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证，选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A．4．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．a⊥α，b∥α，则a⊥bD．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b解析：选C 由a∥b，b⊂α，得可能a⊂α，A错；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交，B错；C正确；D中的直线a，b也可能异面，D错．故选C．5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )A．不存在B．只能作出1个C．能作出无数个D．以上都有可能解析：选D 设直线l外两点确定直线AB，①当AB与l相交时，满足题意的平面不存在；②当AB与l异面时，满足题意的平面只能作一个；③当AB∥l时，满足题意的平面有无数个．6．(2019届咸宁模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若DC1∥平面AB1D1，则等于( )A．B．1C．2D．3解析：选B 因为DC1∥平面AB1D1，DC1⊂平面ACC1A1，平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AD1，所以DC1∥AD1.又AD∥C1D1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，所以AD＝C1D1.又D为AC的中点，所以D1为A1C1的中点，所以＝1.7．(2019届丽江模拟)若正n边形的两条对角线分别与平面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是( )A．5B．6C．8D．12解析：选A 因为正五边形的对角线都相交，所以正五边形所在的平面一定与平面α平行．8．(2019届三明模拟)设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同的直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )\nA．m∥β且l1∥αB．l1∥α且l2∥αC．m∥β且n∥βD．m∥l1且n∥l2解析：选D m∥l1，且n∥l2⇒α∥β，但α∥βm∥l1且n∥l2，所以“m∥l1，且n∥l2”是“α∥β”的一个充分而不必要条件．9．(2019届河北九校第二次联考)等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足＝＝，如图甲，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使平面A1DE⊥平面BCED，连接A1B，A1C，如图乙，点M为A1D的中点．(1)求证：EM∥平面A1BC；(2)求四棱锥A1－BCED的体积．解：(1)证明：取BD的中点N，连接NE，则NE∥BC，在四棱锥A1－BCED中，NE与BC的平行关系不变．连接MN，在△DA1B中，MN∥A1B，又NM∩NE＝N，BA1∩BC＝B，∴平面MNE∥平面A1BC．又EM⊂平面MNE，∴EM∥平面A1BC．(2)∵等边三角形ABC的边长为3，且＝＝，∴AD＝1，AE＝2.在△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理得DE＝＝，从而AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE.折起后有A1D⊥DE，∵平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1D⊂平面A1DE，∴A1D⊥平面BCED．∴四棱锥A1－BCED的体积V＝S四边形BCED·A1D，连接BE，则S四边形BCED＝CB·CE·sin∠BCE＋BD·DE＝×3×1×sin60°＋×2×＝，\n∴V＝××1＝.10．(2019届桂林市、百色市、崇左市联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且＝＝λ(λ≠0)．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)当λ＝时，求点D到平面AFB的距离．解：(1)证明：∵＝＝λ(λ≠0)，∴EF∥BC．∵BC∥AD，∴EF∥AD．又EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．(2)∵λ＝，∴F是PC的中点，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝，∴PC＝＝，∴AF＝PC＝.∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC．又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝PC＝.连接BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d，在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝，AB＝1，∴S△ABF＝.又S△ABD＝1，且点F到平面ABD的距离为点P到平面ABD距离的一半，即为1，∴由V三棱锥F－ABD＝V三棱锥D－AFB，得×1×1＝×d×，解得d＝，即点D到平面AFB的距离为.\nB级·素养提升|练能力|11.(2019届亳州模拟)设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在给定的两条异面直线上移动时才共面D．无论A，B如何移动都共面解析：选D 因为平面α∥平面β，A∈α，B∈β，且C为AB的中点，所以点C在同一平面内，这个平面夹在平面α与β的正中间．12.如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：选C如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.故选C．13．(2019届舟山模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1.只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(答案不唯一)14．(2019届南昌市重点中学测试)如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝AD＝DE＝CD＝2，M是线段AE上的动点．(1)试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；\n(2)在(1)的条件下，求平面MDF将几何体ADE－BCF分成的上下两部分的体积之比．解：(1)当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF.理由如下：如图，连接CE，交DF于N，连接MN，由题意得M，N分别是AE，CE的中点，所以MN∥AC．由于MN⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，所以AC∥平面MDF.(2)如图，将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－B1CF，三棱柱ADE－B1CF的体积V＝S△ADE·CD＝×2×2×4＝8，则几何体ADE－BCF的体积V＝V三棱柱ADE－B1CF－V三棱锥F－BB1C＝8－××2＝.三棱锥F－DEM的体积V＝××4＝，故上下两部分的体积之比为∶＝1∶4.
