课时作业74 二项分布及其应用一、选择题1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88解析：∵所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，∴P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.答案：D2．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.B．C.D．解析：因为本题中的事件可以看成3次独立重复试验．所以恰有1次获得通过的概率为C13－1＝.答案：A3．同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为( )A．0.5B．0.25C．0.125D．0.375解析：掷3枚均匀硬币，设正面向上的个数为X，则X服从二项分布，即X～B，∴P(X＝2)＝C·2·＝＝0.375.答案：D4．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )8\nA．0.960B．0.864C．0.720D．0.576解析：可知K，A1，A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个能正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为PK·P＝0.9×0.96＝0.864.答案：B5．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为( )A．0B．1C．2D．3解析：由Ck5－k＝Ck＋1·5－k－1，即C＝C，故k＋(k＋1)＝5，即k＝2.答案：C6．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是( )A.B．C.D．解析：记事件A为“最后从2号箱中取出的是红球”，事件B为“从1号箱中取出的是红球”，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)＝＝，P()＝1－＝，P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝.从而P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.8\n答案：A二、填空题7．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，两次闭合都出现红灯的概率为.在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为________．解析：设事件A：第一次闭合后出现红灯；事件B：第二次闭合出现红灯．则P(A)＝，P(AB)＝，故满足条件的P(B|A)＝＝＝.答案：8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B(5，)，即有P(ξ＝k)＝C()k×()5－k，k＝0,1,2,3,4,5.故P(ξ＝4)＝C()4×()1＝.答案：9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．解析：设“每次罚球命中”为事件A，由题意P()·P()＋2P(A)·P()＝，即[1－P(A)]2＋2P(A)[1－P(A)]＝，解得P(A)＝.答案：三、解答题10．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：8\n人数0～67～1213～1819～2425～3031人及以上频率0.100.150.250.200.200.10(1)从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是多少？(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？解：(1)由表知，乘客人数不超过24人的频率是0.10＋0.15＋0.25＋0.20＝0.70，则从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是0.70.(2)由表知，从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率约为，设途经10个停靠站，乘车人数超过18人的个数为X，则X～B，∴P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C10－C1×9＝1－10－10×10＝>0.9，故该线路需要增加班次．11．(2014·陕西卷)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．解：(1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，8\nP(X＝2000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季的利润不少于2000元的概率为P(1C2C3)＋P(C12C3)＋P(C1C23)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0．512＋0.384＝0.896.1．如图，△ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△DEF内”，则P(N|M)＝( )A.B．C.D．解析：设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，S△ABC＝×(R)2×＝8\nR2，而△ABC与△DEF重叠部分为正六边形，其边长为R，∴S六边形＝6×(R)2××＝R2，所以P(N|M)＝＝，选D.答案：D2．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.B．C.D．解析：设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()·P()＝.答案：B8\n3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．解析：记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.答案：4．某次数学检测共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．解：(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.该考生选择题得50分的概率为：P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝()2·()2＝.(2)该考生所得分数X＝30,35,40,45,50.P(X＝30)＝()2·(1－)2＝，P(X＝35)＝C()2·()2＋()2·C··＝，P(X＝40)＝()2·()2＋C()2·C··＋()2·()2＝，P(X＝45)＝C()2·()2＋()2C··＝，P(X＝50)＝()2·()2＝.∴该考生所得分数X的分布列为X30354045508\nP∴E(X)＝30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.8
