高考大题专项练2 向量、三角变换与解三角形1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求的值;(2)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.2.已知△ABC为锐角三角形,向量m=(3cos2A,sinA),n=(1,-sinA),且m⊥n.(1)求A的大小;(2)当=pm,=qn(p>0,q>0),且满足p+q=6时,求△ABC面积的最大值.3.已知向量a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),c=(-1,0).(1)若x=,求向量a与c的夹角;(2)当x∈时,求函数f(x)=2a·b+1的最大值,并求此时x的值.4\n4.已知向量a=(cosλθ,cos(10-λ)θ),b=(sin(10-λ)θ,sinλθ),λ,θ∈R.(1)求|a|2+|b|2的值;(2)若a⊥b,求θ;(3)若θ=,求证:a∥b.5.(2014福建厦门高三联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且(b-c)cosA+acosB=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,cosB=,D为AC的中点,求BD.6.已知向量a=,b=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.答案：1.解:(1)由正弦定理,得,所以,即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).因为A+B+C=π,所以sinC=2sinA.因此=2.(2)由=2,得c=2a.4\n由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及cosB=,b=2,得4=a2+4a2-4a2×,解得a=1,从而c=2.因为cosB=,且0<B<π,所以sinB=.因此S=acsinB=×1×2×.2.解:(1)∵m⊥n,∴3cos2A-sin2A=0.∴3cos2A-1+cos2A=0.∴cos2A=.又∵△ABC为锐角三角形,∴cosA=.∴A=.(2)由(1)可得m=,n=,∴||=p,||=q.∴S△ABC=|·||·sinA=pq.又∵p+q=6,且p>0,q>0,∴.∴≤3,∴p·q≤9.∴△ABC面积的最大值为×9=.3.解:(1)设a与c的夹角为θ,当x=时,a=,cosθ===-.∵θ∈[0,π],∴θ=.(2)f(x)=2(-cos2x+sinxcosx)+1=sin2x-cos2x=sin.∵x∈,∴2x-.∴当2x-,即x=时,f(x)的最大值为=1.4.(1)解:∵|a|=,|b|=,∴|a|2+|b|2=2.(2)解:∵a⊥b,∴cosλθ·sin(10-λ)θ+cos(10-λ)θ·sinλθ=0,∴sin[(10-λ)θ+λθ]=0,∴sin10θ=0.∴10θ=kπ,k∈Z,∴θ=,k∈Z.(3)证明:∵θ=,cosλθ·sinλθ-cos(10-λ)θ·sin(10-λ)θ=cos·sin-cos·sin=cos·sin-sin·cos=0,∴a∥b.5.解:(1)由正弦定理,以及(b-c)cosA+acosB=0,得(sinB-sinC)cosA+sinAcosB=0,即sinBcosA-sinCcosA+sinAcosB=0,整理得sin(A+B)-sinCcosA=0,又sin(A+B)=sin(π-C)=sinC≠0,所以cosA=.又A∈(0,π),所以A=.(2)由cosB=,可得sinB=.所以cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=-=-.由正弦定理,可得b==2.所以CD=AC=1.故在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=()2+12-2××1×=13,故BD=.6.解:f(x)=·(sinx,cos2x)4\n=cosxsinx-cos2x=sin2x-cos2x=cossin2x-sincos2x=sin.(1)f(x)的最小正周期为T==π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-.由正弦函数的性质,知当2x-,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-.因此,f(x)在上的最大值是1,最小值是-.4
