备战2013高考数学（文）6年高考母题精解精析专题10圆锥曲线03一、选择题:1.（2011年高考山东卷文科9)设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是(A)(0，2)(B)[0，2](C)(2，+∞)(D)[2，+∞)【答案】C3.（2011年高考海南卷文科9)已知直线过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则的面积为()A.18B.24C.36D.484.(2011年高考安徽卷文科3)双曲线的实轴长是-15-\n（A）2(B)(C)4(D)4【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】可变形为，则，，.故选C.5．(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆6.（2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则（A）（B）（C）(D)【答案】C【解析】：由恰好将线段AB三等分得由又，故选C.-15-\n7.(2011年高考天津卷文科6)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,,选B.8.（2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：=4:3:2，则曲线I’的离心率等于A.B.C.D.【答案】A【解析】由：：=4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.9.（2011年高考四川卷文科11)在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是（）（A）(-2,-9)（B）(0,-5)(C)(2,-9)（D）(1,6)-15-\n10.（2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（A）（B）(C)(D)【答案】C【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C11．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A．4B．3C．2D．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。12．（2011年高考湖北卷文科4)将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A.B.C.D.答案：C-15-\n解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F，依题意可知，A、B必关于x轴对称，故设，则，则，故由抛物线定义可得，则由，解得，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.13.（2011年高考辽宁卷文科7)已知F是抛物线的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(A)(B)1(C)(D)答案：C解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+=m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为。二、填空题：14.（2011年高考山东卷文科15)已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为.-15-\n16.（2011年高考四川卷文科14)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是.答案：16解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.17.（2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|=.已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2|=.【答案】6【解析】：，由角平分线的性质得又18．（2011年高考重庆卷文科9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A．B．C．D．，【答案】B三、解答题：18.（2011年高考山东卷文科22)（本小题满分14分）-15-\n在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,-15-\n由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述,点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.19.（2011年高考江西卷文科19)(本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．【解析】（1）直线AB的方程是所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2）由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)设=，又，即8（4），即，解得.20.（2011年高考福建卷文科18)（本小题满分12分）-15-\n如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（1）求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】（I）由得()因为直线与抛物线C相切,所以,解得.（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.21．（2011年高考湖南卷文科21)已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．解析：（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．-15-\n由，得设则是上述方程的两个实根，于是．因为，所以的斜率为．设则同理可得故当且仅当即时，取最小值16．22.（2011年高考陕西卷文科17)（本小题满分12分）设椭圆C:过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得 ∴b=4又得即， ∴ ∴C的方程为（ Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，-15-\nAB的中点坐标，，即中点为。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。23.（2011年高考四川卷文科21)（本小题共12分）过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值.解析：（I）因为椭圆过C(1,0)，所以b=1.因为椭圆的离心率是，所以，故，椭圆方程为.当直线过椭圆右焦点时，直线的方程为，由得或则,故.（Ⅱ）直线CA的方程为①.设点P，则直线AP的方程为-15-\n②.把②代入椭圆方程，得，从而可求.因为B(-2,0),所以直线BD的方程为③，由①③可得，从而求得.，所以为定值.24.（2011年高考全国卷文科22)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【解析】(Ⅰ)证明：由，，由设，，-15-\n故点P在C上（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，，即，同理即，A、P、B、Q四点在同一圆上.法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为∴∴则的中垂线为：则的中垂线与的中垂线的交点为∴到直线的距离为∴即∴、、、四点在同一圆上。25.（2011年高考湖北卷文科21)（本小题满分13分）-15-\n平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.解析：（1）设动点为M，其坐标（x,y）.当时，由条件可得即又的坐标满足故依题意，曲线C的方程为当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.（2）由（1）知，当时，C1的方程为；当时，C2的两个焦点分别为.对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是①②由①得，由②得-15-\n当即，或时.存在点N,使当即，或时，不存在满足条件的点N.当时，由，可得令则由可得，从而于是由可得，即综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得，且当时，在C1上，存在点N，使得，且；当时，在C1上，不存在满足条件的点N.-15-
