课时作业(五十五) 曲线与方程一、选择题1．(2015·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A.－＝1B．＋＝1C.－＝1D．＋＝1答案：D解析：∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.2．(2015·廊坊二模)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线答案：D解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R.而R＝|PF|＝，∴|x|＝·.整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，即－＝1.∴点P的轨迹为双曲线．3．设x1，x2∈R，常数a>0，定义运算“*”：x1]x*a))的轨迹是( )A．圆B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分答案：D解析：令y＝＝＝，6\n∵a>0，∴y2＝4ax，故应选D.4．(2015·余姚模拟)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线答案：D解析：由已知得|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.5．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a>0)且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是( )A.－＝1(y≠0)B.－＝1(x≠0)C.－＝1D.－＝1答案：D解析：在△ABC中，由正弦定理，得|AB|－|AC|＝|BC|＝，∴动点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支．故应选D.6．(2015·天津津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线答案：A解析：设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即解得6\n又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.二、填空题7．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过点P，则圆心M的轨迹方程为________．答案：＋＝1解析：已知圆为(x－3)2＋y2＝64，其圆心为C(3,0)，半径为8，由于动圆M过点P，所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|＝r，又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差即|MC|＝8－r，从而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8.根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆，并且2a＝8，a＝4,2c＝6，c＝3，所以b2＝16－9＝7，因此点M的轨迹方程是＋＝1.8．(2015·成都二模)P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．答案：＋＝1解析：由＝＋，又＋＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝，即点P坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.9．(2014·临汾4月)在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________．答案：－＝1(x>)6\n解析：以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2，∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，∴b＝，∴轨迹方程为－＝1(x>)．10．如图，设动点P到点A(－1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，∠APB＝2θ，d1d2sin2θ＝，则动点P的轨迹C的方程为________．答案：x2－y2＝解析：在△PAB中，|AB|＝2，由余弦定理可得22＝d＋d－2d1d2cos2θ，即4＝(d1－d2)2＋4d1d2sin2θ，即|d1－d2|＝＝2＝，点P的轨迹C是焦点为A，B，实轴长2a＝的双曲线，所以所求动点P的轨迹C的方程为x2－y2＝.三、解答题11．(2015·鹤壁二模)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，l上的动点P满足＝(＋)，点N的坐标为.当l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)||的最小值与最大值．解：(1)直线l过点M(0,1)，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx6\n＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设得点A，B的坐标是方程组的解．消去y并整理，得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，所以于是＝(＋)＝＝.设点P的坐标为(x，y)，则消去参数k得4x2＋y2－y＝0.(*)当直线l的斜率不存在时，线段AB的中点坐标为原点(0,0)，也满足方程(*)．所以动点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.(2)由点P的轨迹方程知x2≤.则－≤x≤.所以||2＝2＋2＝2＋－4x2＝－32＋.故当x＝时，||取得最小值，最小值为；当x＝－时，||取得最大值，最大值为.12．(2015·广东六校联考)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求＋的最大值．解：(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)，∵·＝·，6\n∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)．即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，即x2＝4y，所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.(2)设圆M的圆心坐标为M(a，b)，则a2＝4b.①圆M的半径为|MD|＝.圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2，令y＝0，则(x－a)2＋b2＝a2＋(b－2)2，整理，得x2－2ax＋4b－4＝0. ②由①②解得x＝a±2.不妨设A(a－2,0)，B(a＋2,0)，∴l1＝，l2＝.∴＋＝＝＝2＝2，③当a≠0时，由③，得＋＝2≤2＝2，当且仅当a＝±2时，等号成立．当a＝0时，由③得＋＝2.故当a＝±2时，＋的最大值为2.6
