课时作业(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )A. B．C. D．答案：A解析：＝(3，－4)，||＝5.与同方向的单位向量为＝，故应A.2．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝m＋n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( )A．m>0，n>0 B．m>0，n<0C．m<0，n>0D．m<0，n<0答案：B解析：由题意及平面向量基本定理，得在＝m＋n中，m>0，n<0.故应选B.3．在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )A．(－7，－) B．(－7，)C．(－4，－2)D．(－4，2)答案：A解析：∵点O(0,0)，P(6,8)，∴＝(6,8)，6\n设＝(10cosθ，10sinθ)，则cosθ＝，sinθ＝，∵向量绕点O逆时针方向旋转后得向量，设Q(x，y)，则x＝10cos＝10＝－7，y＝10sin＝10＝－，∴Q点的坐标为(－7，－)．故应选A.4．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于( )A．2B．C．－2D．－答案：A解析：∵a∥b，则a＝λb，∴2cosα－sinα＝0，即tanα＝2.故应选A.5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)答案：D解析：设向量c＝(x，y)，∵向量4a,3b－2a，c首尾相接能构成三角形，∴4a＋3b－2a＋c＝0，即解得x＝4，y＝－6，即c＝(4，－6)．故应选D.6\n6．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.给出以下结论：①若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2；②若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2；③存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线；④不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线．其中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4答案：B解析：若a与b共线，即a＝λb，即2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1与e2不共线，∴解得k＝－2.故①正确，②不正确．若a与b不共线，若e1与e2共线，则e2＝λe1，有∵e1，e2，a，b为非零向量，∴λ≠2且λ≠－k，∴a＝b，即a＝b，这时a与b共线，∴不存在实数k满足题意，故③不正确，④正确．综上，正确的结论为①④.故应选B.二、填空题7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．答案：解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.8．(2015·徐州模拟)在△ABC中，若点D是边AB上靠近点B的三等分点，若＝a，＝b，则等于________．答案：a＋b解析：∵D是边AB上靠近点B的三等分点，∴＝，6\n＝＋，且＝－＝b－a，∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.9．(2015·大庆模拟)已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．答案：1解析：由题意知，＝(－3,0)，＝(0，)，则＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，∴tan150°＝，即－＝－，∴λ＝1.10．给出以下四个命题：①四边形ABCD是菱形的充要条件是＝，且||＝||；②点G是△ABC的重心，则＋＋＝0；③若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是等腰梯形；④若||＝8，||＝5，则3≤||≤13.其中所有正确命题的序号为________．答案：①③④解析：对于①，当＝时，则四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，故该平行四边形为菱形，反之，当四边形ABCD为菱形时，则＝，且||＝||，故正确；对于②，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0，故不正确；对于③，由条件知＝－，所以∥且||>||，又||＝||，故四边形ABCD为等腰梯形，正确；对于④，当，共线同向时，||＝3，当，共线反向时，||＝8＋5＝13，当，不共线时3<||<13，故正确．综上，正确命题为①③④.三、解答题11．平面内给定三个向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝(3,1)，回答下列问题：(1)求4a＋2b－c；(2)若(a＋kb)∥(2a－c)，求实数k.6\n解：(1)4a＋2b－c＝4(2,1)＋2(－1,2)－(3,1)＝(8,4)＋(－2,4)－(3,1)＝(3,7)．(2)∵(a＋kb)∥(2a－c)，又a＋kb＝(2－k,1＋2k)，2a－c＝(1,1)，∴2－k－(1＋2k)＝0，∴k＝.12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，＝t1＋t2，(1)求点P在第二象限的充要条件；(2)证明：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，P三点共线；(3)试求当t1，t2满足什么条件时，O，A，B，P能组成一个平行四边形．解：(1)＝t1(1,2)＋t2(3,3)＝(t1＋3t2,2t1＋3t2)，P在第二象限的充要条件是有解．∴－t2＜t1＜－3t2且t2＜0.(2)证明：当t1＝1时，有－＝t2，∴＝t2，∴不论t2为何实数，A，B，P三点共线．(3)由＝(t1＋3t2,2t1＋3t2)，得点P(t1＋3t2,2t1＋3t2)，∴O，A，B，P能组成一个平行四边形有三种情况．当＝，有解得当＝，有解得当＝，有解得13．(2015·浏阳模拟)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设＝λ，将用λ，，表示；6\n(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．解：(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明：一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．6
