课时作业(二十三) 简单的三角恒等变换一、选择题1．已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于( )A．0.92B．0.85C．0.88D．0.95答案：A解析：cos78°＝sin12°＝0.20，sin66°＝cos24°＝1－2sin212°＝0.92，故应选A.2．(2015·郑州质检)已知tanα＝2，则＝( )A.B．－C．D．答案：D解析：＝＝＝＝，故应选D.3．(2015·湖北八校联考)已知f(x)＝2tanx－，则f的值为( )A．4B．C．4D．8答案：D解析：∵f(x)＝2×＝2×＝2×＝，∴f＝＝8.故应选D.6\n4．(2015·聊城模拟)已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )A.B．C．D．－1答案：B解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝，故应选B.5．(2015·衡水调研)计算的值为( )A．－2B．2C．－1D．1答案：D解析：＝＝＝＝＝＝1，故应选D.6．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于( )A.B．C．D．6\n答案：D解析：依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，故β＝，故应选D.二、填空题7．(2014·山东)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．答案：π解析：y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.8．已知tan2θ＝－2，π<2θ<2π，化简＝________.答案：3＋2解析：原式＝＝.∵2θ∈(π，2π)，∴θ∈.而tan2θ＝＝－2.∴tan2θ－tanθ－＝0，即(tanθ＋1)(tanθ－)＝0.故tanθ＝－或tanθ＝(舍去)．∴＝＝3＋2.9．(2015·湖南师大附中月考)计算：＝________.6\n答案：－4解析：原式＝＝＝＝＝－410．计算：sin10°cos20°sin30°cos40°＝________.答案：解析：sin10°cos20°sin30°cos40°＝·＝·＝·＝·＝.三、解答题11．已知函数f(x)＝1－.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解：(1)因为sin≠0，所以x－≠kπ，k∈Z，所以函数的定义域为.(2)因为f(x)＝1－＝1－＝1＋sinx＋cosx6\n＝1＋sin.又y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z.令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，解得2kπ－≤x≤2kπ＋.又注意到x≠kπ＋，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.12．在△ABC中，内角A，B，C满足4sinAsinC－2cos(A－C)＝1.(1)求角B的大小；(2)求sinA＋2sinC的取值范围．解：(1)因为4sinAsinC－2cos(A－C)＝4sinAsinC－2cosAcosC－2sinAsinC＝－2(cosAcosC－sinAsinC)，所以－2cos(A＋C)＝1，故cosB＝.又0＜B＜π，所以B＝.(2)由(1)知C＝－A，故sinA＋2sinC＝2sinA＋cosA＝sin(A＋θ)，其中0＜θ＜，且sinθ＝，cosθ＝.由0＜A＜知，θ＜A＋θ＜＋θ，故＜sin(A＋θ)≤1.所以sinA＋2sinC∈.13．(2015·济南模拟)已知函数f(x)＝4cosωx·sin＋1(ω＞0)的最小正周期是π.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝4cosωx·sin＋1＝2sinωxcosωx－2cos2ωx＋1＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin.6\n最小正周期是＝π.所以ω＝1，从而f(x)＝2sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ.解得－＋kπ≤x≤＋kπ.所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)当x∈时，∈，f(x)＝2sin∈，所以f(x)在上的最大值和最小值分别为2，.6
