课后限时集训(三十四) 平面向量的基本定理及坐标表示建议用时：25分钟一、选择题1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b等于( )A．(6,3)B．(－2，－6)C．(2,1)D．(7,2)B [2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．]2．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)D [由题意可知a与b不共线，即3m－2≠2m，∴m≠2.故选D．]3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )A．B．C．(3,2)D．(1,3)A [设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，又＝2，∴∴故选A．]4．(2020·厦门模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝( )A．－2B．－1C．1D．2D [如图，建立平面直角坐标系xOy，设正方形网格的边长为1，则a＝(1,1)，b＝(0，－1)，c＝(2,1)，∴λa＋b＝(λ，λ－1)．∵λa＋b与c共线，∴λ＝2(λ－1)，解得λ＝2，故选D．]\n5.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝( )A．a－bB．a－bC．a＋bD．a＋bD [连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.]6．在△OAB中，＝a，＝b，＝p，若p＝t，t∈R，则点P在( )A．∠AOB平分线所在直线上B．线段AB中垂线上C．AB边所在直线上D．AB边的中线上A [∵，均为单位向量，且p＝t∴p落在以，为邻边的菱形的对角线上，即∠AOB平分线所在直线上，故选A．]7．(2020·济南模拟)已知向量m＝与向量n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )A．B．C．D．C [∵m∥n，∴sinA(sinA＋cosA)＝，∴2sin2A＋sin2A＝3.∴sin＝1.又A∈(0，π)，∴2A－∈.\n由2A－＝得A＝.故选C．]8.如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝( )A．－B．C．－D．D [由题可得A(2,0)，B，C.因为＝λ＋μ，所以由向量相等的坐标表示可得解得所以＝，故选D．]二、填空题9．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为．(－3，－5) [∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝－＝(－3，－5)．]10．已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝.2 [由＝(＋－)＝(＋)知，点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以＝(－2,2)．故||＝＝2.]11．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是．{k|k≠1} [由题意可知＝－＝(1,2)，＝(k，k＋1)．要使A，B，C三点能构成三角形，则与不共线，∴1×(k＋1)－2k≠0，即k≠1.]\n12．平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝.(用e1，e2表示)－e1＋e2 [如图，＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.]1．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是( )A．B．C．D．D [法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是，故选D．法二：∵＝x＋－x，∴－＝x(－)，即＝x＝－3x，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，∴－＜x＜0.]2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为．\n2 [以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)．由＝x＋y，得所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin.又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.法二：(等和线法)如图，连接AB交OC于点P，∵＝x＋y，∴当点C与A、(B)重合时，x＋y＝1.当点C为与AB平行且与圆弧相切的切点时，＝2，设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1，∴＝2＝2λ＋2μ＝x＋y，∴x＋y＝2λ＋2μ＝2(λ＋μ)＝2.所以x＋y的最大值为2.]
