课时规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示 基础巩固组1.已知向量a=(3,4),b=(1,2),则2b-a=( )A.(-1,0)B.(1,0)C.(2,2)D.(5,6)2.(2020山东济南长清高三段考模拟)已知{e1,e2}是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是( )A.{e1,e1+e2}B.{e1-2e2,e2-2e1}C.{e1+e2,e1-e2}D.{e1-2e2,4e2-2e1}3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)4.(2020山东菏泽一模,4)已知向量a,b满足a=(1,2),a+b=(1+m,1),若a∥b,则m=( )A.2B.-2C.12D.-125.已知向量AC,AD和AB在正方形网格中的位置如图所示,若AC=λAB+μAD,则λμ=( )A.-3B.3C.-4D.46.(2020湖北襄阳五中高三模拟)已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则|a+2b|=( )A.32B.3\nC.22D.58.(2020河北石家庄二中开学预考)已知非零不共线向量OA,OB,若2OP=xOA+yOB,且PA=λAB(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是( )A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=09.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=π4,且|OC|=2,若OC=λOA+μOB,则λ+μ=( )A.22B.2C.2D.4210.(2020安徽马鞍山二模,13)已知向量a=(2,-1),b=(1,t),且|a+b|=|a-b|,则t= . 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若PF=2QF,则|QF|= . 综合提升组12.(2020山东青岛5月模拟,3)已知向量a=(1+cosx,2),b=(sinx,1),x∈0,π2,若a∥b,则sinx=( )A.45B.35C.25D.25513.(2020山东潍坊临朐模拟二,5)已知向量m=(a,-1),n=(2b-1,3)(a>0,b>0),若m∥n,则2a+1b的最小值为( )A.12B.8+43C.15D.10+2314.(2020安徽六安一中期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+b,b+c),n=(c-b,a),若m∥n,则C=( )A.5π6B.2π3C.π3D.π615.已知△OAB是边长为1的正三角形,若点P满足OP=(2-t)OA+tOB(t∈R),则|AP|的最小值为( )A.3B.1C.32D.3416.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 . 创新应用组\n17.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P为矩形内一点,且AP=32.若AP=λAB+μAD(λ,μ∈R),则λ+3μ的最大值为( )A.32B.62C.3+34D.6+324参考答案课时规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示1.A 由题得2b=(2,4),∴2b-a=(-1,0),故选A.2.D 因为{e1,e2}是平面向量的一组基底,故e1和e2不共线,所以e1和e1+e2不共线,e1-2e2和e2-2e1不共线,e1+e2和e1-e2不共线.因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以e1-2e2和4e2-2e1共线.故选D.3.D 由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.4.D 由已知,得b=(a+b)-a=(1+m,1)-(1,2)=(m,-1).因为a∥b,所以2m+1=0,解得m=-12.故选D.5.A 设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则AC=(2,-2),AB=(1,2),AD=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即2=λ+μ,-2=2λ,解得λ=-1,μ=3,所以λμ=-3.故选A.6.A 由题意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件.7.A 因为a=(1,-3),b=(-2,0),所以a+2b=(-3,-3),因此|a+2b|=9+9=32.故选A.\n8.A 由PA=λAB,得OA-OP=λ(OB-OA),即OP=(1+λ)OA-λOB.又2OP=xOA+yOB,所以x=2+2λ,y=-2λ,消去λ得x+y-2=0,故选A.9.A 因为|OC|=2,∠AOC=π4,所以C(2,2),又OC=λOA+μOB,所以(2,2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=2,λ+μ=22.10.2 由|a+b|=|a-b|,得32+(t-1)2=1+(-1-t)2,解得t=2.11.3 设点P(-1,t),Q(x,y),易知点F(1,0),FP=(-2,t),QF=(1-x,-y),∴2(1-x)=-2,解得x=2,因此|QF|=x+1=3,故选D.12.A 因为a∥b,所以1+cosx-2sinx=0,所以cosx=2sinx-1.又sin2x+cos2x=1,所以sin2x+(2sinx-1)2=1,即5sin2x-4sinx=0,解得sinx=45或sinx=0,又因为x∈0,π2,所以sinx=45.故选A.13.B ∵m=(a,-1),n=(2b-1,3)(a>0,b>0),m∥n,∴3a+2b-1=0,即3a+2b=1,∴2a+1b=2a+1b(3a+2b)=8+4ba+3ab≥8+24ba·3ab=8+43,当且仅当4ba=3ab,即a=3-36,b=3-14时取等号,∴2a+1b的最小值为8+43.故选B.14.B ∵m=(a+b,b+c),n=(c-b,a),且m∥n,∴(a+b)×a-(c-b)×(b+c)=0,整理得c2=a2+b2+ab.又c2=a2+b2-2abcosC,∴cosC=-12.∵C∈(0,π),∴C=2π3.故选B.15.C 以O为原点,以OB为x轴,建立坐标系,∵△OAB是边长为1的正三角形,∴A12,32,B(1,0),OP=(2-t)OA+tOB=1+12t,3-32t,AP=OP-OA=12t+12,32-32t.∴|AP|=12t+122+32-32t2=t2-t+1=t-122+34≥32,故选C.16.(0,2) ∵向量a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2,故向量a在基底m,n下的坐标为(0,2).17.B 以点A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.设∠PAB=θ,θ∈0,π2,\n则B(1,0),D(0,3),P32cosθ,32sinθ,由AP=λAB+μAD得32cosθ=λ,32sinθ=3μ,∴λ+3μ=32(sinθ+cosθ)=62sinθ+π4≤62,当且仅当θ+π4=π2,即θ=π4时取等号.故选B.
