第2课时 圆锥曲线中的范围、最值问题技法阐释圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解.(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围.高考示例思维过程(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值.\n技法一 判别式法求范围[典例1] 已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．[思维流程] \n[解] (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，联立解得故椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，所以m2＜1＋4k2.①所以x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝.所以kAP＝＝－.又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，则－＝－，即3m＝4k2＋1.②把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3.由②得k2＝＞0，解得m＞.综上可知，m的取值范围为.点评：本例在求解中巧用|AM|＝|AN|得出AP⊥MN，从而建立m与k的等量关系，回代由判别式Δ＞0得出的m与k的不等关系，进而得出参数m的取值范围．技法二 利用函数性质法求最值(范围)[典例2] 已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．[思维流程] [解] (1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，\n联立消去x得y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍)．∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0，∴y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2，∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，∴当t＝时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.点评：本例的求解有两大亮点，一是直线m的设法：ty＝x－1，避免了讨论斜率不存在的情形；另一个是将dA＋dB的最值问题巧妙的转化为AB的中点M到直线l的最值问题，在转化中抛物线的定义及梯形中位线的性质起了关键性作用．技法三 利用不等式法求最值(范围)[典例3] 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．[思维流程] [解] (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时，不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．\n将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝·d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝≤1.当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为2y±x＋4＝0.点评：基本不等式求最值的五种典型情况分析(1)s＝(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)．(2)s＝≥(基本不等式)．(3)s＝(基本不等式)．(4)s＝＝(先分离参数，再利用基本不等式)．(5)s＝＝(上下同时除以k2，令t＝k＋换元，再利用基本不等式)．
