双曲线[考试要求] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x\n离心率e＝，e∈(1，＋∞)性质实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S＝b2·，其中θ为∠F1PF2.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )\n(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材习题衍生1．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A．x2－＝1B．－y2＝1C．x2－＝1D．－＝1A [设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0).所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.]2．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为．－＝1 [设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．由题意得9－1＝λ，∴λ＝8.即－＝1.]3．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) [因为方程－＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.]4．双曲线－＝－1的实轴长为，离心率为，渐近线方程为．10 y＝±x [双曲线－＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，∴实轴长为2a＝10，离心率e＝＝，\n渐近线方程为y＝±x.]考点一 双曲线的定义及其应用 双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[典例1] (1)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于．(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为．(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝.(1)6 (2)x2－＝1(x≤－1) (3) [(1)设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B．根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1\n的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．(3)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2|PF2|＝4，所以cos∠F1PF2＝＝＝.][母题变迁]1．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝2.2．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∵·＝0，∴⊥，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴S＝|PF1|·|PF2|＝2.点评：(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T(2)．1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )A．3B．16＋C．12＋D．24\nB [由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝.由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝，①|BF2|－|BF1|＝，②①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，则△ABF2的周长为16＋，故选B．]2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为．9 [设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象(图略)，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.]考点二 双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．1．(2020·兰州诊断)经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1D [设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，又双曲线过点M(2，2)，\n所以λ＝－6.即双曲线方程为－＝1，故选D．]2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．x2－＝1D [由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D．]3．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为．－＝1 [设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴解得∴双曲线方程为－＝1.]点评：结合题设条件，灵活选择双曲线的设法，可以快速求解双曲线的标准方程．考点三 双曲线的几何性质 1.求双曲线渐近线方程的方法求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.2．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． 求双曲线的渐近线方程[典例2－1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )A．y＝±xB．y＝±x\nC．y＝±xD．y＝±x(2)(2020·广州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0(1)A (2)B [(1)法一：(直接法)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.法二：(公式法)由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.(2)假设点P在双曲线的右支上，则∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos30°，∴c2－2ac＋3a2＝0，∴e2－2e＋3＝0，∴e＝，∴＝，∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B．]点评：双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝，或e＝＝＝. 双曲线的离心率[典例2－2] (1)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )\nA．(1，＋∞) B．(1,2)C．(2,1＋)D．(1,1＋)(2)(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A．B．C．2D．(1)B (2)A [(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B．(2)令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得＋＝a2，∴＝，即离心率e＝.故选A．]点评：解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形，多借助圆的几何性质，挖掘出隐含条件，如垂直关系、线段或角的等量关系等．1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A． B．5 C． D．2A [由题意可知b＝2a，∴e＝＝＝，故选A．]\n2．(2020·衡水模拟)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )A．B．C．(1,2)D．(2，＋∞)A [由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得<a，即c>2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<a2，所以e＝<，又知e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.]3．(2020·安徽示范高中联考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线交于A，B两点．若|AB|∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±xA [由题意可设|AB|＝3k，则|BF1|＝4k，|AF1|＝5k，则易得BF1⊥BF2，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，则可得|AF2|＝5k－2a，|BF2|＝8k－2a，再根据双曲线的定义得|BF2|－|BF1|＝2a，得k＝a，即|BF1|＝4a，|BF2|＝6a，|F1F2|＝2c，在直角三角形BF1F2中，得16a2＋36a2＝4c2＝4(a2＋b2)，则＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选A．]
