第七章数列第41课数列的概念与简单表示法1．（2022上海高考）设，，在中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100【答案】D【解析】当时，＞0，当时，＜0，但其绝对值要小于时相应的值，当时，＞0，当时，＜0，但其绝对值要小于时相应的值，∴当时，均有．2．已知数列{an}的通项公式是，其中a为正实数，那么an与的大小关系是（）A．B．C．D．与a的取值有关【答案】A【解析】．∵，∴．3．（2022上海高考）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则______．【答案】【解析】由题意得，，，…，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，易得，4\n∴．4．设数列的前项和为，点N均在函数的图象上.则数列的通项公式．【答案】【解析】∵，∴．当时，，当时，．∵，∴．5．已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立，设数列的前项和.（1）求函数的表达式；（2）求数列的通项公式.【解析】（1）∵不等式的解集有且只有一个元素，∴，解得或．当时，函数在递增，不满足条件②当时，函数在上递减，满足条件②综上得，即．（2）由（1）知，当时，，当时，，∴．4\n6．已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在，使得不等式成立．若，是数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数．【解析】（1）∵函数在定义域内有且只有一个零点，∴，得或．当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立．综上，得．∴．∴．（2）由题设，∵时，，∴时，数列递增．∵，由，得．∴，可知．∴时，有且只有1个变号数；又∵，，，∴，．∴此时变号数有2个；∴数列共有3个变号数，即变号数为．4\n4
