课时规范练42 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.直线l在直线m:x+y+1=0的上方,且l∥m,它们的距离是2,则直线l的方程是( ) A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x+y+1=0D.x+y+3=0或x+y-1=02.(2020山东济南德润中学月考)已知直线l1:x·sinα+y-1=0,直线l2:x-3y·cosα+1=0,若l1⊥l2,则sin2α=( )A.23B.±35C.-35D.353.已知A(1,2),B(3,1)两点到直线l的距离分别是2,5-2,则满足条件的直线l共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条4.若关于x,y的二元一次方程组mx+4y=m+2,x+my=m有无穷多组解,则m的取值为( )A.1B.2C.3D.45.(2020重庆西南大学附中期末)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且ax+by+1=0在y轴上的截距为13,则a+b的值为( )A.-7B.-1C.1D.76.(2020湖南郴州模拟)若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是5,则m+n=( )A.0B.1C.-2D.-17.(2020湖北孝昌一中月考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是( )A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=08.若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为 . 9.直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d的最大值是 . 10.设△ABC的一个顶点是A(-3,1),∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为 . 11.若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l的方程是 . \n综合提升组12.设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A;P,Q分别为l1,l2上任意两点,点M为PQ的中点,若|AM|=12|PQ|,则m的值为( )A.2B.-2C.3D.-313.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.π6,π3B.π6,π2C.π3,π2D.π6,π214.(2020上海大同中学期中)若关于x,y的二元一次方程组mx+9y=m+6,x+my=m无解,则实数m的值为 . 15.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB边的中点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP= . 16.(2020福建福州期末)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a= . 创新应用组17.(2020山东青岛模拟)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为( )A.-43,23B.43,-23C.-43,23,43D.-43,-23,2318.(2020安徽六安月考)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( )A.[5,25]B.[10,25]C.[10,45]D.[25,45]\n参考答案课时规范练42 点与直线、两条直线的位置关系1.A 因为l∥m,且直线l在m:x+y+1=0上方,所以可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),因为它们的距离是2,则|c-1|2=2,∴c=-1,或c=3(舍去),所以直线l的方程是x+y-1=0,故选A.2.D ∵l1⊥l2,∴sinα-3cosα=0,∴tanα=3,∴sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=35.3.C 当A,B两点位于直线l的同一侧时,一定存在这样的直线l,且有两条.又|AB|=(3-1)2+(1-2)2=5,而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为2+5-2=5,所以当A,B两点位于直线l的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.故选C.4.B 因为关于x,y的二元一次方程组mx+4y=m+2,x+my=m有无穷多组解,所以直线mx+4y=m+2与直线x+my=m重合,所以m1=4m=m+2m,解得m=2,即m的取值为2,故选B.5.A 因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y轴上的截距为13,所以13b+1=0,解得b=-3.所以a=-4,所以a+b=-7.故选A.6.C 由题意,得12=-2n,解得n=-4,即直线l2:x-2y-3=0,所以两平行直线之间的距离为d=|m+3|1+4=5(m>0),解得m=2,所以m+n=-2.7.D 由题意,得x+y-3=0,2x-y=0,解得x=1,y=2,所以两直线的交点坐标为(1,2).直线2x+y-5=0的斜率是-2,故其垂线的斜率是12,所以所求直线方程是y-2=12(x-1),即x-2y+3=0.8.0或5 当m=0时,mx-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3x-my-1=3x-1=0,即x=13,此时两直线垂直,点(m,1)到y轴的距离为0;当m≠0时,由题意有mm+2·3m=-1,解得m=-5,点(m,1)到y轴的距离为5.9.13 因为直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,且两直线保持平行,因此当两条平行直线l1,l2都与MN垂直时,它们之间的距离d取得最大值为|MN|=(1-3)2+(4-1)2=13.10.y=2x-5 ∵∠B,∠C的平分线所在直线分别是x=0,y=x,∴AB与BC关于x=0对称,AC与BC关于y=x对称.A(-3,1)关于x=0的对称点A'(3,1)在直线BC上,A关于y=x的对称点A″(1,-3)也在直线BC上.由两点式,得出所求直线BC的方程为y=2x-5.11.x-2y+2=0 由2x-y-2=0,x+y-4=0,得x=2,y=2,即两直线的交点坐标为(2,2),在直线2x-y-2=0上取一点A(1,0),设点A关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a,b).\n则ba-1=1,a+12+b2-4=0,即a-b-1=0,a+b-7=0,解得a=4,b=3,即对称点的坐标为(4,3),则l的方程为y-23-2=x-24-2,整理得x-2y+2=0.12.A 根据题意画出图形,如图所示.直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A,M为PQ的中点,若|AM|=12|PQ|,则PA⊥QA,即l1⊥l2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故选A.13.B 联立两直线方程得y=kx-3,2x+3y-6=0,可得两直线的交点坐标为33+62+3k,6k-232+3k,∵两直线的交点在第一象限,∴33+62+3k>0,6k-232+3k>0,不等式组的解集为k>33,若直线l的倾斜角为θ,则tanθ>33,∴θ∈π6,π2,故选B.14.-3 因为关于x,y的二元一次方程组mx+9y=m+6,x+my=m无解,所以直线mx+9y=m+6与直线x+my=m平行,所以m2-9=0,解得m=±3.经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3.15.10 以A为坐标原点,AB,AC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,因为△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,则lBC:x+y-2=0,点P(1,0),所以点P关于y轴的对称点为P1(-1,0),设点P关于直线lBC:x+y-2=0的对称点为P2(x0,y0),则y0x0-1=1且x0+12+y02-2=0,解得P2(2,1),则PQ+QR+RP=P2Q+QR+RP1=P1P2=10.16.1 由f(x)=ax3+x+1,得f'(x)=3ax2+1,所以f'(1)=3a+1,即f(x)在x=1处的切线的斜率为3a+1,因为f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,所以3a+1=4,即a=1.17.D 设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为直线l1,l2,l3,依照题意易得直线l1与直线l2不平行,设交点为P,因为三条直线不能围成一个三角形,所以l3与l1平行,或l3与l2平行,或l1,l2,l3交于一点P.(1)两条直线平行,若l1∥l3,此时m=23;若l2∥l3,此时m=-43.(2)l1,l2,l3交于一点P时,由2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,解得x=-1,y=-13,即交点P的坐标为-1,-13,\n代入mx-y-1=0,则m=-23.所以实数m的取值集合为-43,-23,23.18.B 由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过定点B(1,3),因为动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1,始终垂直,P又是两条直线的交点,所以PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.设∠ABP=θ,则|PA|=10sinθ,|PB|=10cosθ,由|PA|≥0且|PB|≥0,可得θ∈0,π2,所以|PA|+|PB|=10(sinθ+cosθ)=25sinθ+π4,因为θ∈0,π2,所以θ+π4∈π4,3π4,所以sinθ+π4∈22,1,所以25sinθ+π4∈[10,25].
