课时规范练41 直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.把直线x-y+3-1=0绕点(1,3)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是( ) A.y=-3xB.y=3xC.x-3y+2=0D.x+3y-2=02.(2020上海静安区期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足( )A.-π4≤α≤π4B.π4≤α<π2或π2<α≤3π4C.π4≤α<π2D.π2<α≤3π43.已知直线过A(2,4),B(1,m)两点,且倾斜角为45°,则m=( )A.3B.-3C.5D.-14.方程y=ax+b和y=bx+a表示的直线可能是( )5.点(5,2)到直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5的距离的最大值为( )A.13B.213C.15D.2156.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为( )A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=07.过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0或2x-5y=0C.x-2y-1=0D.x-2y-1=0或2x-5y=08.已知点(1,-2)和33,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.π4,π3B.π3,2π3C.2π3,5π6D.0,π3∪3π4,π9.(2020河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同\n一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为( )A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=010.(2020山东德州高三模拟)已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),则y+3x+2的最大值为 ,最小值为 . 11.直线l过点(-2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则直线l的方程为.12.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 . 综合提升组13.直线xsinπ5+ycos3π10+1=0的倾斜角α是( )A.π4B.3π4C.π5D.3π1014.若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.415.(2020山东日照高三段考)已知直线l过点P(2,-1),在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为 . 16.(2020海南琼州中学模拟)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)求证:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.创新应用组17.已知点A(-2,0),点P(x,y)满足x+y=2sinθ+π4,x-y=2sinθ-π4,则直线AP的斜率的取值范围为( )A.-33,33B.[-3,3]C.-12,12D.[-2,2]18.(2020浙江高三月考)已知实数k1<0<k2<k3,若三条直线l1:y=k1x,l2:y=k2x+1,l3:y=k3(x-1)围成的三角形面积为4,则k2k3的最大值是( )\nA.13B.12C.33D.22参考答案课时规范练41 直线的倾斜角、斜率与直线的方程1.B 已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,3)逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tanα=tan60°=3,∴直线l的方程为y-3=3(x-1),即y=3x.2.B 因为k=tanα,所以当k≤-1时,π2<α≤3π4,当k≥1时,π4≤α<π2,即直线的倾斜角α满足π4≤α<π2或π2<α≤3π4.故选B.3.A ∵直线过A(2,4),B(1,m)两点,∴直线的斜率为m-41-2=4-m.又直线的倾斜角为45°,∴直线的斜率为1,即4-m=1,∴m=3.故选A.4.D 根据题意,依次分析选项:对于A,对于y=ax+b,图像经过第一、二、三象限,则a>0,b>0,y=bx+a也要经过第一、二、三象限,所以A选项错误;对于B,同理A,可得B选项错误;对于C,对于y=ax+b,图像经过第二、三、四象限,则a<0,b<0,y=bx+a也要经过第二、三、四象限,所以C选项错误;对于D,对于y=ax+b,图像经过第一、三、四象限,则a>0,b<0,y=bx+a要经过第一、二、四象限,符合题意;故选D.5.B 化简(m-1)x+(2m-1)y=m-5可得m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,由x+2y-1=0,x+y-5=0⇒x=9,y=-4,所以(m-1)x+(2m-1)y=m-5过定点(9,-4),点(5,2)到直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5的距离的最大值就是点(5,2)与点(9,-4)的距离,即为(-4)2+62=52=213,故选B.6.B 解法1:直线过点P(1,4),代入选项,排除A,D,又在两坐标轴上的截距均为正,排除C.故选B.解法2:设所求直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0),将(1,4)代入得1a+4b=1,a+b=(a+b)1a+4b=5+ba+4ab≥9,当且仅当b=2a,即a=3,b=6时等号成立,此时截距之和最小,所以直线方程为x3+y6=1,即2x+y-6=0.7.B 设所求直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a,\n①当a=0时,所求直线经过点(5,2)和(0,0),所以该直线方程为y=25x,即2x-5y=0;②当a≠0时,设所求直线方程为xa+y2a=1,又直线过点(5,2),所以5a+22a=1,解得a=6,所以该直线方程为x6+y12=1,即2x+y-12=0.故选B.8.D 设直线l的倾斜角为θ∈[0,π),点A(1,-2),B33,0.直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1).kPA=-1-(-2)0-1=-1,kPB=-1-00-33=3.∵点(1,-2)和33,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,∴kPA<a<kPB,∴-1<tanθ<3,tanθ≠0.解得0<θ<π3或3π4<θ<π.故选D.9.D ∵B(-1,0),C(0,2),∴线段BC的中点的坐标为-12,1,线段BC所在直线的斜率kBC=2,∴线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-12x+12,即2x+4y-3=0.∵AB=AC,∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.故选D.10.8 43 如图,作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图像,即曲线段AB,则y+3x+2表示定点P(-2,-3)与曲线段AB上任意一点(x,y)的连线的斜率k.连接PA,PB,由图可知kPA≤k≤kPB.易得A(1,1),B(-1,5),则kPA=1-(-3)1-(-2)=43,kPB=5-(-3)-1-(-2)=8,所以43≤k≤8.故y+3x+2的最大值为8,最小值为43.11.x+y=0或x-y+4=0 若a=b=0,则直线l过(0,0)与(-2,2)两点,直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0.若a≠0,b≠0,则直线l的方程为xa+yb=1,由题意知-2a+2b=1,|a|=|b|,解得a=-4,b=4,此时,直线l的方程为x-y+4=0.故直线l的方程为x+y=0或x-y+4=0.12.16 根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa+yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4ab,从而ab≤0(舍去)或ab≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16.13.B xsinπ5+ycos3π10+1=0,则tanα=-sinπ5cos3π10=-sinπ5cosπ2-π5=-1.因为直线倾斜角的范围为[0°,180°),\n∴α=3π4,故选B.14.C 设直线l的截距式为xa+yb=1,∵直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,∴1a+1b=1,12|ab|=2,解得a=2,b=2,或a=-2+22,b=-2-22,或a=-2-22,b=-2+22.∴直线l的条数为3.15.x+2y=0或x+3y+1=0 若a=0,则直线l过原点(0,0),此时直线l的斜率k=-12,故直线l的方程为x+2y=0.若a≠0,则设直线l的方程为xa+yb=1,即x3b+yb=1.因为点P(2,-1)在直线l上,所以23b+-1b=1,解得b=-13.从而直线l的方程为x+3y+1=0.综上可知,直线l的方程为x+2y=0或x+3y+1=0.16.(1)证明直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0.由x+2=0,1-y=0,解得x=-2,y=1.故无论k取何值,直线l恒过定点(-2,1).(2)解直线l的方程可化为y=kx+1+2k.当k≠0时,要使直线l不经过第四象限,则有k>0,1+2k≥0,解得k>0.当k=0时,直线l的方程为y=1,显然符合题意.综上,k的取值范围是[0,+∞).(3)解依题意,A-1+2kk,0,B(0,1+2k),且-1+2kk<0,1+2k>0,解得k>0.所以S=12|OA|·|OB|=12·-1+2kk·|1+2k|=12·(1+2k)2k=124k+1k+4≥12×(2×2+4)=4,当且仅当4k=1k,即k=12时,等号成立.所以Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.17.A 由x+y=2sinθ+π4,x-y=2sinθ-π4,得x=sinθ,y=cosθ,故x2+y2=1,即点P(x,y)的轨迹方程是x2+y2=1.过点A向圆作切线,两切线的斜率分别为33,-33,由图(图略)可知,k∈-33,33,故选A.18.B 设l1与l2相交于点A,l1与l3相交于点B,l2与l3相交于点C,如图所示.由y=k2x+1,y=k3(x-1),\n解得x=k3+1k3-k2,y=k3(k2+1)k3-k2,即Ck3+1k3-k2,k3(k2+1)k3-k2;由y=k1x,y=k2x+1,解得x=1k1-k2,y=k1k1-k2,即A1k1-k2,k1k1-k2;由y=k1x,y=k3(x-1),解得x=k3k3-k1,y=k1k3k3-k1,即Bk3k3-k1,k1k3k3-k1,因此点Ck3+1k3-k2,k3(k2+1)k3-k2到直线l1:y=k1x的距离为d=k1·k3+1k3-k2-k3(k2+1)k3-k2k12+1,又这三条直线围成的三角形面积为4,所以4=S△ABC=12|AB|·d=12k12+11k1-k2-k3k3-k1·k1·k3+1k3-k2-k3(k2+1)k3-k2k12+1=121k1-k2-k3k3-k1·k1k3+k1k3-k2-k3(k2+1)k3-k2=12(k3-k1)+k3(k2-k1)(k1-k2)(k3-k1)·-k3(k2-k1)-(k3-k1)k3-k2=12(k3-k1)+k3(k2-k1)(k1-k2)(k3-k1)·k3(k2-k1)+(k3-k1)k3-k2=[(k3-k1)+k3(k2-k1)]22|(k1-k2)(k3-k1)(k3-k2)|,因为k1<0<k2<k3,所以[(k3-k1)+k3(k2-k1)]22|(k1-k2)(k3-k1)(k3-k2)|=[(k3-k1)+k3(k2-k1)]22(k2-k1)(k3-k1)(k3-k2)≥[2(k3-k1)·k3(k2-k1)]22(k2-k1)(k3-k1)(k3-k2)=4(k3-k1)·k3(k2-k1)2(k2-k1)(k3-k1)(k3-k2)=2k3k3-k2,当且仅当(k3-k1)=k3(k2-k1)时,等号成立;所以4≥2k3k3-k2,即4k3-4k2≥2k3,即2k3-4k2≥0,即k2k3≤12,\n即k2k3的最大值是12.故选B.
