课时规范练14 导数的概念及运算 基础巩固组1.已知函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),则limΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)Δx等于( )A.mf'(x0)B.-mf'(x0)C.-1mf'(x0)D.1mf'(x0)2.函数f(x)=(2ex)2+sinx的导数是( )A.f'(x)=4ex+cosxB.f'(x)=4ex-cosxC.f'(x)=8e2x+cosxD.f'(x)=8e2x-cosx3.若f'(x0)=-3,则limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=( )A.-3B.-6C.-9D.-124.设函数f(x)=ax3+1.若f'(1)=3,则a的值为( )A.0B.1C.2D.45.(2020陕西西安中学八模,理5)已知函数f(x)=x2lnx+1-f'(1)x,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A.12B.-12C.12-3eD.3e-126.设函数f(x)在R上可导,f(x)=x2f'(1)-2x+1,则f(a2-a+2)与f(1)的大小关系是( )A.f(a2-a+2)>f(1)B.f(a2-a+2)=f(1)C.f(a2-a+2)<f(1)D.不确定7.(2019全国3,文7,理6)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-18.(2020北京二中月考,5)直线y=kx-1与曲线y=lnx相切,则实数k=( )A.-1B.1C.2D.e9.(2020河北唐山一模,文14)曲线f(x)=ex+2sinx-1在点(0,f(0))处的切线方程为 . 10.(2020山东德州二模,14)已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ex3+2e-x,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是 . \n11.(2020山东青岛二模,15)已知函数f(x)=ex-ax的图象恒过定点A,则点A的坐标为 ;若f(x)在点A处的切线方程为y=2x+1,则a= . 12.(2020河南实验中学4月模拟,16)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 综合提升组13.已知f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=lnx-3x,则曲线y=f(x)在点(-1,-3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于( )A.1B.34C.14D.1214.(2020广东茂名一模,理15)P为曲线y=2x2+ln(4x+1)x>-14图象上的一个动点,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则当α取最小值时x的值为 . 15.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 创新应用组16.(2020江西上饶三模,文12)已知曲线f(x)=ex+1与曲线g(x)=e24(x2+2x+1)有公切线l:y=kx+b,设直线l与x轴交于点P(x0,0),则x0的值为( )A.1B.0C.eD.-e17.(2020北京海淀期中,15)唐代李皋发明了“桨轮船”,这种船是原始形态的轮船,是近代明轮航行模式之先导.如图,某桨轮船的轮子的半径为3m,它以1rad/s的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P,点P到船底的距离是H(单位:m),轮子旋转时间为t(单位:s).当t=0时,点P在轮子的最高点处.当点P第一次入水时,t= ; 当t=t0时,函数H(t)的瞬时变化率取得最大值,则t0的最小值是 . \n参考答案课时规范练14 导数的概念及运算1.B 因为函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),所以limΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)Δx=-mlim-mΔx→0f(x0-mΔx)-f(x0)-mΔx=-mf'(x0).故选B.2.C 因为f(x)=(2ex)2+sinx=4e2x2+sinx,所以f'(x)=(4e2x2)'+(sinx)'=8e2x+cosx.故选C.3.B f'(x0)=-3,则limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=limh→0f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)h=limh→0f(x0+h)-f(x0)h+lim-h→0f(x0-h)-f(x0)-h=2f'(x0)=-6.4.B ∵f(x)=ax3+1,∴f'(x)=3ax2.又f'(1)=3,∴3a=3,解得a=1.故选B.5.A ∵f(x)=x2lnx+1-f'(1)x,∴f'(x)=2xlnx+x-f'(1),∴f'(1)=1-f'(1),解得f'(1)=12,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为12.故选A.6.A 由题意可知,f'(x)=2f'(1)x-2,则f'(1)=2f'(1)-2,解得f'(1)=2.故f(x)=2x2-2x+1.所以函数f(x)在区间12,+∞上单调递增.因为a2-a+2=a-122+74>1>12,所以f(a2-a+2)>f(1).故选A.7.D ∵y'=aex+lnx+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.8.B 设切点坐标为P(a,lna),∵曲线y=lnx,∴y'=1x,∴k=y'|x=a=1a.①又∵切点P(a,lna)在切线y=kx-1上,∴lna=ka-1.②由①②,解得k=1.故选B.\n9.y=3x 由题可得,f'(x)=ex+2cosx,故f'(0)=e0+2cos0=3.又f(0)=e0+2sin0-1=0,故切线方程为y=3x.10.ex-y-2e=0 因为奇函数在关于原点对称的两点处的切线平行,且f'(x)=3ex2-2e-x,x<0.所以f'(1)=f'(-1)=e.又因为f(1)=-f(-1)=-e,所以切线为y+e=e(x-1),即ex-y-2e=0.11.(0,1) -1 当x=0时,f(0)=e0-a×0=1,所以f(x)的图象恒过定点(0,1).由题意,f'(x)=ex-a,f'(0)=e0-a=1-a,所以1-a=2,a=-1.12.2x-y=0 当x>0时,-x<0,则f(-x)=ex-1+x.又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,所以f'(x)=ex-1+1,则f'(1)=2,所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.13.C 设x<0,则-x>0,于是f(-x)=ln(-x)-3(-x)=ln(-x)+3x.因为f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,f'(x)=1x+3.于是曲线y=f(x)在点(-1,-3)处的切线斜率k=f'(-1)=2.因此切线方程为y+3=2(x+1),即y=2x-1.故切线与两坐标轴围成图形的面积S=12×1×12=14.故选C.14.D 由y=x得y'=12x,设直线l与曲线y=x的切点为(x0,x0),则直线l的方程为y-x0=12x0(x-x0),即12x0x-y+12x0=0,由直线l与圆x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=55,即|12x0|14x0+1=55,解得x0=1(负值已舍去),所以直线l的方程为y=12x+12.故选D.15.14 设切点P(x0,y0)x0>-14,y'=4x+44x+1.∵x0>-14,∴4x0+1>0,则tanα=4x0+44x0+1=4x0+1+44x0+1-1≥2(4x0+1)×44x0+1-1=4-1=3,当且仅当4x0+1=44x0+1,即x0=14时,等号成立.即当x0=14时,tanα最小,α取最小值.16.1-ln2 对函数y=lnx+2求导,得y'=1x,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=1x+1.设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)=1x1(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=lnx1+x2x2+1+1,解得x1=12,所以k=1x1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.17.B 设曲线f(x)的切线方程的切点为(m,em+1),由f'(x)=ex+1,得f'(m)=em+1,故切线方程为y-em+1=em+1(x-m).即y=em+1·x+em+1(1-m).设曲线g(x)的切线方程的切点为n,e24(n2+2n+1),由g'(x)=e24(2x+2),得g'(n)=e24(2n+2).故切线方程为y-e24(n2+2n+1)=e24(2n+2)(x-n),即y=e24(2n+2)x+e24(1-n2).\n因为两切线为同一条切线,所以em+1=e24(2n+2),em+1(1-m)=e24(1-n2),解得m=n=1.故切线方程为y=e2x.令y=0,得x0=0,故选B.18.23π 32π 如图,设轮子圆心为点O,轮子与水面交点为A,B,C.因为OA=OC=3,OB=1.5,所以∠AOB=π3,所以∠AOC=2π3,则∠AOP=∠COP=2π3.由题意,点P从最高点到达点A,即点P第一次入水,所需时间满足t×1=2π3,所以t=2π3.由题意,桨轮船的轮子的圆心O到船底的距离为4m,如图,点P从最高点旋转到如图所在的P'位置时,所转过的弧对应的圆心角为1×t0=t0,则H(t)=4+3cost0,H'(t)=-3sint0≤3,当sint0=-1时,H(t)的瞬时变化率取得最大值3,所以t0的最小值为32π.
