课时规范练54 几何概型 基础巩固组1.(2020广东佛山综合能力测试)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,深受人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是( )A.37B.47C.57D.672.(2020四川达州高三诊断)已知α∈[0,π],则满足sinα<cosα的概率为( )A.14B.13C.12D.343.(2020宁夏吴忠中学高三月考)在正方体内随机放入n个点,恰有m个点落入正方体的内切球内,则π的近似值为( )A.2mnB.m2nC.6mnD.m6n4.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为( )A.1213B.1314C.2129D.14155.(2020河南平顶山高三线上联考)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为“邪田”,称底是“广”,高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田,广分别为八步和十二步,正从为八步,其内部有块广为八步,正从为五步的圭田,若将100棵果树均匀地种植在邪田,一年后,每棵果树都有60kg果子收成,则此圭田中的收成约为( )A.25kgB.50kgC.1500kgD.2000kg\n6.(2018全国1,理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( )A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p37.已知圆柱OO'的底面半径为1,高为6,若区域M表示圆柱OO'及其内部,区域N表示圆柱OO'内到下底面的距离大于1的点组成的集合,若向区域M中随机投一点,则所投的点落入区域N中的概率为( )A.13B.23C.56D.168.在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB≥4π2的概率为( )A.1-π8B.1-π4C.1-π2D.1-3π49.(2020陕西汉中高三检测)设D是半径为R的圆周上一定点,在圆周上随机取一点C,连接CD得一弦,若A表示事件“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”,则事件A发生的概率P(A)= . 10.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法,在△ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为 . 综合提升组11.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b∈[0,6]时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为( )A.23B.22C.12D.13\n12.(2020河北衡水高三质检)圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示.我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值:在区间(0,1)内随机取2m个数,构成m个数对(x,y),设x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)有n对,则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为( )A.m+2nmB.m+2nnC.2m+4nmD.m+2n2n13.已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2km处,B地在O地正北方向2km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过3km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A.1-22B.22C.1-32D.1214.已知某几何体的三视图如图所示,在该几何体内随机取一点,则此点到线段AB的中点的距离不大于1的概率是 . 15.记[m]表示不超过m的最大整数.若在x∈18,12上随机取1个实数,则使得[log2x]为偶数的概率为 . 创新应用组16.(2020山西实验中学高三月考)我们可以用随机数法估计π的值,下面程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为521,则由此可估计π的近似值为( )\nA.3.119B.3.126C.3.132D.3.15117.已知实数a,b满足0<a<1,-1<b<1,则函数y=13ax3+ax2+b有三个零点的概率为 . 参考答案课时规范练54 几何概型1.D 窗花的面积为122-4×1=140,其中小正方形的面积为5×4×12=20,所以所求概率140-20140=67.2.A ∵α∈[0,π],sinα<cosα,∴0<α<π4,∴满足sinα<cosα的概率为P=π4-0π-0=14.3.C 设正方体的边长为2,则其内切球的半径为1,正方体与其内切球的体积分别为8,4π3,恰有m个点落入正方体的内切球的概率为mn,根据几何概型体积型概率得mn=4π3×8,∴π=6mn.4.C 由题意知BC=2,B'C=5,设AC=x,则AB=AB'=x+2,在Rt△ACB'中,列勾股方程得52+x2=(x+2)2,解得x=214,所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为P=xx+2=214214+2=2129,故选C.5.C 12×8×512×(8+12)×8=x100×60,解得x=1500.6.A 设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为πc22,以AB为直径的圆面积为πb22,以AC为直径的圆面积为πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24-12×πc24-12ab=12×π(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,SⅢ=12×πc24-12ab,所以SⅠ=SⅡ,由几何概型,知p1=p2.故选A.\n7.C 由题意,易知圆柱OO'的体积为V=π×12×6=6π.因为区域N表示圆柱OO'内到下底面的距离大于1的点组成的集合,所以区域N表示圆柱OO'内的一个小圆柱(与圆柱OO'共上底面),且小圆柱的体积为V1=π×12×(6-1)=5π.根据几何概型,得所投入的点落在区域N中的概率为P=V1V=5π6π=56,故选C.8.B 在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2π为边长的正方形内,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB=4a2+4b2.因为OA·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,点(a,b)在以原点为圆心,以π为半径的圆外,且在以2π为边长的正方形内,所以OA·OB≥4π2的概率为P=4π2-π34π2=1-π4,故选B.9.13 如图,△DPQ为圆内接正三角形,当点C位于劣弧PQ上时,弦DC>PD,所以由几何概型的概率得P(A)=13.10.14 由题得S△ABC=12ah,S矩形=a2h,∴S△ABC=S矩形.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一,所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标记“盈”的区域的概率为14.11.A 圆C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为:x-y+b=0.当b2=3,即b=32时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当b2=1,即b=2时,圆上恰有3个点到直线l距离为1.所以当b∈(2,32)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为32-26=23.故选A.12.C 依题有0<x<1,0<y<1,试验的全部结果构成以1为边长的正方形,其面积为1.因为x,y能与1构成钝角三角形,由余弦定理及三角形知识得x2+y2<1,x+y>1,构成如图阴影部分,其面积为π4-12,由几何概型概率计算公式得nm=π4-121,解得π=2m+4nm.13.A \n由题意,△AOB是直角三角形,OA=OB=2,所以AB=22,O地为一磁场,距离其不超过3km的范围为14个圆,与AB相交于C,D两点,作OE⊥AB,则OE=2,所以CD=2,所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-CDAB=1-222=1-22.故选A.14.13 根据几何体的三视图可知,该几何体是底面半径为1,高为2的圆柱,其体积为2π,线段AB是底面的直径,线段AB的中点是底面圆的圆心,几何体内到线段AB的中点的距离不大于1的点构成了以底面圆心为球心,半径为1的半球,其体积为12×43πr3×13=23π,所以所求的概率是23π2π=13.15.23 若x∈18,12,则log2x∈(-3,-1).要使得[log2x]为偶数,则log2x∈[-2,-1).所以x∈14,12,故所求概率P=12-1412-18=23.16.B 模拟执行该程序框图,可知该框图是计算满足x,y,z∈(0,1)的1000组(x,y,z)数据中,满足x,y,z∈(0,1)且x2+y2+z2<1的组数,根据几何概型概率公式可得x,y,z∈(0,1)且x2+y2+z2<1发生的概率为43π×13×18=π6,当输出结果为521时,i=1001,m=521,x2+y2+z2<1发生的概率为P=5211000,∴5211000=π6,即π=3.126,由此可估计π的近似值为3.124,故选B.17.516 对y=13ax3+ax2+b求导数可得y'=ax2+2ax,令ax2+2ax=0,可得x=0或x=-2,0<a<1,x=-2是极大值点,x=0是极小值点,所以函数y=13ax3+ax2+b,有三个零点,可得-83a+4a+b>0,b<0,即4a+3b>0,b<0.画出可行域如图,满足函数y=13ax3+ax2+b有三个零点,如图深色区域,实数a,b满足0<a<1,-1<b<1,为长方形区域,所以长方形的面积为2,深色区域的面积为12×1+14=58,所以所求概率为P=582=516,故答案为516.\n
