第九章 概率、统计与统计案例第四节概率与统计的综合问题课时规范练A组——基础对点练1．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．若最高气温不低于25，则需求量为500瓶；若最高气温位于区间[20，25)，则需求量为300瓶；若最高气温低于20，则需求量为200瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前3年6月份每天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温/℃[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求6月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设6月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当6月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解析：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以Y的所有可能值为900，300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率为0.8.2．某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：\n(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率．解析：(1)由题意知，网店销售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24，故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80.(2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1700)元，50x－1700≥800⇒x≥50.设该实体店一天获利不低于800元为事件A，则P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.3．成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的学生利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证没有驾驶证合计具有很强安全意识不具有很强安全意识58\n合计200(1)补全上面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“‘具有很强安全意识’与是否拥有驾驶证”有关？(2)若规定参加调查的200人中分数在70以上(含70)的为“具有较强安全意识”，从参加调查的200人中根据是否具有较强安全意识，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人“具有较强安全意识”的概率．附表及公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：拥有驾驶证没有驾驶证合计具有很强安全意识221840不具有很强安全意识58102160合计80120200χ2＝＝＝4.6875＞3.841.所以有超过95%的把握认为“‘具有很强安全意识’与是否拥有驾驶证”有关．(2)5人中不具有较强安全意识的有3人，分别记为A，B，C，“具有较强安全意识”的有2人，分别记为d，e，易知这是一个古典概型．则从5人中随机抽取3人构成的所有基本事件为(A，B，C)，(A，B，d)，(A，B，e)，(A，C，d)，(A，C，e)，(A，d，e)，(B，C，d)，(B，C，e)，(B，d，e)，(C，d，e)，共有10种；抽取3人中恰有一人“具有较强安全意识”所包含的基本事件为(A，B，d)，(A，B，e)，(A，C，d)，(A，C，e)，(B，C，d)，(B，C，e)，共有6种．所以抽取的3人中恰有一人“具有较强安全意识”的概率P＝＝.4．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖(分别对应成绩等级的一、二、三等)．现有某考场所有考生的两科成绩等级统计如图1所示，其中获数学二等奖的考生有12人．\n(1)求该考场考生中获语文一等奖的人数；(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图2所示)，求样本的平均数及方差并进行比较分析；(3)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人两科均获一等奖的概率．解析：(1)∵获数学二等奖的考生有12人，∴该考场考生的总人数为＝50，故该考场获语文一等奖的考生人数为50×(1－0.38×2－0.16)＝4.(2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为1，s，获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为2，s.1＝＝88，2＝＝85，s＝×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22，s＝×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6，∵88＞85，11.6＜22，∴获数学二等奖考生较获语文二等奖考生综合素质测试的平均分高，但是成绩差距较大．(3)两科均获一等奖的考生共有3人，则仅数学获一等奖的考生有2人，仅语文获一等奖的考生有1人，把两科均获一等奖的3人分别记为A1，A2，A3，仅数学获一等奖的2人分别记为B1，B2，仅语文获一等奖的1人记为C，则在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C，共15个．记“这2人两科均获一等奖”为事件M，则事件M包含的基本事件有A1A2，A1A3，A2A3，共3个，∴P(M)＝＝，故这2人两科均获一等奖的概率为.
