单元质检卷二 函数(时间:100分钟 满分:140分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2020安徽合肥一中模拟,理1)设集合A={x|y=lg(x-3)},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于( ) A.∅B.RC.{x|x>3}D.{x|x>0}2.(2020北京朝阳一模,2)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上递增的是( )A.y=x3B.y=-x2+1C.y=log2xD.y=2|x|3.(2020北京人大附中二模,2)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4.(2020北京平谷二模,10)如图,点O为坐标原点,点A(1,1),若函数y=ax(a>0,且a≠1)及y=logbx(b>0,且b≠1)的图像与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则a,b满足( )A.a<b<1B.b<a<1C.b>a>1D.a>b>15.(2020山西太原二模,理6)函数f(x)=1x-ln(x+1)的图像大致为( )6.(2020山东潍坊临朐模拟二,4)已知a=1323,b=1223,c=log3π,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a7.(2020山东烟台一模,8)已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)>0,则下列不等关系成立的是( )\nA.m+n>1B.m+n<1C.m-n>-1D.m-n<-18.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图像大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )A.点MB.点NC.点PD.点Q9.(2020河北邢台模拟,理10)函数f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零点的个数为( )A.2B.3C.4D.610.(2020山西太原二模,理8)设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0.则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集是( )A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处12.设函数f(x)是定义域为R,且周期为2的偶函数,在区间[0,1]上,f(x)=x2,x∈M,x,x∉M,其中集合M=xx=mm+1,m∈N,则下列结论正确的是( )A.f43=39B.f(x)在[2m,2m+1](m∈N)上递增C.f(x)在mm+1,m+1m+2(m∈N)内递增D.f(x)的值域为[0,1]二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020河南新乡三模,理14)函数f(x)=x2+2x,x≤0,lnx,x>0,则ff1e= . \n14.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)= . 15.(2020河北保定二模,理15)已知定义域为R的函数f(x)=μ+2λex+λexx2+2020sinx2+x2有最大值和最小值,且最大值和最小值的和为4,则λ-μ= . 16.(2020山东潍坊二模,16)已知函数f(x)=lnx,x≥1,2x3-3x2+1,x<1,则当x∈[-1,e]时,f(x)的最小值为 ;设g(x)=[f(x)]2-f(x)+a,若函数g(x)有6个零点,则实数a的取值范围是 . 三、解答题:本题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)函数f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的图像过点(8,2)和(1,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x.(1)求a,b的值;(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.\n19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x(x∈N)千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(万元);当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450(万元).通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润L(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?\n20.(12分)某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计)民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足f(x)=41+1x,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N+)的函数关系式;(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.21.(12分)已知函数f(x)=lgx+ax-2,其中x>0,a>0.(1)求函数f(x)的定义域;\n(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.\n参考答案单元质检卷二 函数1.C ∵A={x|y=lg(x-3)}={x|x-3>0}={x|x>3},B={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},∴A∩B={x|x>3},故选C.2.D 函数y=x3是奇函数,不符合;函数y=-x2+1是偶函数,但是在(0,+∞)上递减,不符合;函数y=log2x不是偶函数,不符合;函数y=2|x|既是偶函数又在区间(0,+∞)上递增,符合.故选D.3.B log20.2<log21=0,20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则a<0,b>1,0<c<1,故a<c<b.故选B.4.A 由题图,得a13=13,即a=133,logb23=23,即b23=23,b=23 32=633>133=a,且b=23 32<230=1,即a<b<1.故选A.5.A f(1)=11-ln2>0,排除选项C,D;由f(x)=1x-ln(x+1)≠0,得函数没有零点,排除选项B.故选A.6.D 由题得1323<1223<120=1,log3π>log33=1,∴c>b>a.故选D.7.C ∵f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x-exex+e-x=-f(x),∴f(x)是R上的奇函数.f(x)=1-e-2x1+e-2x=-1+21+e-2x,则f(x)是R上的增函数.∴由f(2m-n)+f(2-n)>0得,f(2m-n)>f(n-2),∴2m-n>n-2,∴m-n>-1.故选C.8.D 由图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去点N,M,排除选项A,B;若是点P,则从最高点到点C,y单调递减,与图2矛盾,排除选项C;因此取点Q,故选D.\n9.C 函数f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零点个数,即方程|lgx2|=-x2+2|x|的实数解的个数,令g(x)=|lgx2|,h(x)=-x2+2|x|,则g(x),h(x)都为R上的偶函数,当x>0时,g(x)=|2lgx|,h(x)=-x2+2x,作出函数图像如图,两个函数一共有两个交点,即当x>0时,|lgx2|=-x2+2|x|有两个实数解,根据对称性可得,当x<0时,|lgx2|=-x2+2|x|有两个实数解,所以|lgx2|=-x2+2|x|一共有4个实数解,故选C.10.B ∵函数f(x)是奇函数,函数f(x)在(0,+∞)上递增,∴f(x)在(-∞,0)上也递增.∵f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1)=0,不等式f(x)-f(-x)x<0可化为2xf(x)<0,即xf(x)<0.当x<0时,可得f(x)>0=f(-1),∴x>-1,∴-1<x<0;当x>0时,可得f(x)<0=f(1),∴x<1,∴0<x<1.综上,不等式f(x)-f(-x)x<0的解集为(-1,0)∪(0,1).故选B.11.A 设仓库到车站的距离为xkm,由题意,得y1=k1x,y2=k2x,其中x>0.当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=45,故y1+y2=20x+45x≥220x·45x=8,当且仅当20x=45x,即x=5时取等号,故选A.12.C 对于A,∵f(x)是周期为2的偶函数,∴f43=f-23=f23=232=49,故A错误;对于B,当m=0时,[2m,2m+1]=[0,1],在[0,1]上,f13=13,f12=14,而f13>f12,可知f(x)在[2m,2m+1](m∈N)上不单调,故B错误;对于C,显然0≤mm+1<m+1m+2<1,且mm+1,m+1m+2∈M,f(x)在mm+1,m+1m+2(m∈N)内的解析式为f(x)=x,递增,故C正确;对于D,当x=12时,f(x)=122=14,而函数f(x)=x的定义域中不含12,则原分段函数f(x)的值域中不含12,故D错误.13.-1 ∵f1e=ln1e=-1,∴ff1e=f(-1)=-1.故答案为-1.\n14.1 由函数f(x+2)为偶函数可得,f(2+x)=f(2-x).又f(-x)=-f(x),故f(2-x)=-f(x-2),所以f(2+x)=-f(x-2),即f(x+4)=-f(x).所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),故该函数是以8为周期的周期函数.又函数f(x)为奇函数,故f(0)=0.所以f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=0+1=1.15.-2 ∵f(x)=μ+2λex+λexx2+2020sinx2+x2=μ+λex+2020sinx2+x2,若λ<0,则函数y=f(x)无最小值,不符合题意;若λ>0,则函数y=f(x)无最大值,不符合题意.所以λ=0,则f(x)=μ+2020sinx2+x2,则f(x)+f(-x)=μ+2020sinx2+x2+μ+2020sin(-x)2+(-x)2=2μ,所以函数y=f(x)的图像关于点(0,μ)对称,则f(x)max+f(x)min=4=2μ,则μ=2,因此λ-μ=-2.故答案为-2.16.-4 0,14 f(x)=lnx在[1,e]上递增,所以f(x)min=f(1)=ln1=0.当x∈[-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1,令f'(x)=6x2-6x=0,解得x=1(舍去)或x=0,则有f(x)在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减.因为f(-1)=-2-3+1=-4<f(1),所以函数f(x)在[-1,e]上的最小值为-4.令t=f(x),g(x)=0,即t2-t=-a,作出函数y=f(x)的图像,如图所示,直线y=t与函数y=f(x)的图像最多只有三个交点,所以0<t<1,即说明方程t2-t=-a有两个(0,1)内的不相等的实数根,亦即函数y=t2-t在(0,1)内的图像与直线y=-a有两个交点.因为y=t2-t=t-122-14,根据y=t2-t的图像可知,-14<-a<0,即0<a<14.17.解(1)由f(8)=2,f(1)=-1,得m+loga8=2,m+loga1=-1,解得m=-1,a=2,故函数解析式为f(x)=-1+log2x(x>0).(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2x2x-1-1(x>1).∵x2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1=(x-1)+1x-1+2≥2(x-1)·1x-1+2=4,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时,等号成立.\n令t=x2x-1,t≥4,因为函数y=log2t在[4,+∞)上递增,则log2x2x-1-1≥log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.18.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上递增,故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,所以f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解可化为2x+12x-2≥k·2x在x∈[-1,1]上有解,化为1+12x2-2·12x≥k在x∈[-1,1]上有解,令t=12x,则k≤t2-2t+1在t∈12,2上有解.记h(t)=t2-2t+1,则h(t)max=h(2)=1.故k的取值范围是(-∞,1].19.解(1)当0<x<80,x∈N时,L(x)=500×1000x10000-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;当x≥80,x∈N时,L(x)=500×1000x10000-51x-10000x+1450-250=1200-x+10000x.∴L(x)=-13x2+40x-250(0<x<80,x∈N),1200-(x+10000x)(x≥80,x∈N).(2)当0<x<80,x∈N时,L(x)=-13(x-60)2+950,∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950;当x≥80,x∈N时,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x,即x=100时,等号成立,∴L(x)取得最大值L(100)=1000>950.综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.20.解(1)由题意知p(x)=f(x)g(x)=41+1x(104-|x-23|)(1≤x≤30,x∈N+).(2)p(x)=4(1+1x)(81+x)(1≤x≤23,x∈N+),4(1+1x)(127-x)(23<x≤30,x∈N+).①当1≤x≤23时,p(x)=41+1x(81+x)=482+x+81x≥482+2x·81x=400,当且仅当x=81x,即x=9时,等号成立.故p(x)取得最小值400.②当23<x≤30时,p(x)=41+1x(127-x)=4126+127x-x.设h(x)=127x-x,则有h'(x)=-127x2-1<0,故h(x)在(23,30]上递减,则p(x)在(23,30]上也递减,所以当x=30时,p(x)min=4×126+12730-30=4001415>400.\n所以最低日收益为400万元.则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,所以600万元的投资可以在两年内收回.21.解(1)由x+ax-2>0,得x2-2x+ax>0.因为x>0,所以x2-2x+a>0.当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,函数f(x)的定义域为(0,+∞);当a=1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1};当0<a<1时,函数f(x)的定义域为{x|0<x<1-1-a或x>1+1-a}.(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+ax-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-x-322+94在[2,+∞)内递减,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,即a的取值范围是(2,+∞).
