单元质检卷四 三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟 满分:70分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2019全国3,文5)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为( )A.2B.3C.4D.52.(2020湖南郴州二模,文9)函数y=f(x)在区间-π2,π2上的大致图像如图所示,则f(x)可能是( )A.f(x)=ln|sinx|B.f(x)=ln(cosx)C.f(x)=-sin|tanx|D.f(x)=-tan|cosx|3.(2020北京密云一模,8)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则f(x)的递增区间为( )A.-54+kπ,-14+kπ,k∈ZB.-54+2kπ,-14+2kπ,k∈ZC.-54+k,-14+k,k∈ZD.-54+2k,-14+2k,k∈Z4.(2020河北5月模拟,理10)已知x0是函数f(x)=2sinxcosx+23sin2x-3,x∈-π4,π4的极小值点,则f(x0)+f(2x0)的值为( )A.0B.-3C.-2-3D.-2+35.(2020云南玉溪一中测试)已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x-y=0上,则sin(3π2+θ)+2cos(π-θ)sin(π2-θ)-sin(π-θ)=( )\nA.-32B.32C.0D.236.(2020山东济宁6月模拟,11)已知函数f(x)=sin[cosx]+cos[sinx],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,下列关于f(x)的结论错误的是( )A.fπ2=cos1B.f(x)的一个周期是2πC.f(x)在(0,π)内递减D.f(x)的最大值大于2二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7.(2021届河北衡水中学模拟一,理15)函数f(x)=sinωx(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度得到函数y=g(x)的图像,且f(x)与g(x)的图像关于点π3,0对称,那么ω的最小值为 . 8.(2020新高考全国1,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为 cm2. 三、解答题:本题共3小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(10分)(2020北京八中模拟二,16)已知函数f(x)=3sinωx2cosωx2+sin2ωx2,其中ω>0.(1)若函数f(x)的最小正周期为2,求ω的值;(2)若函数f(x)在区间0,π2上的最大值为32,求ω的取值范围.10.\n(10分)(2020山东济南一模,18)如图,平面四边形ABCD,点B,C,D均在半径为533的圆上,且∠BCD=π3.(1)求BD的长度;(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD,求△ABD的面积.11.(10分)(2020湖南师大附中一模,理17)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).(1)求角C的值;(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为3,求△ABC的周长.\n参考答案单元质检卷四 三角函数、解三角形(B)1.B 由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,得sinx=0或cosx=1.∵x∈[0,2π],∴x=0或x=π或x=2π.故f(x)在区间[0,2π]上的零点个数是3.故选B.2.B 当x=0时,sin0=0,ln|sin0|无意义,故排除A;又cos0=1,则f(0)=-tan|cos0|=-tan1≠0,故排除D;对于C,当x∈0,π2时,|tanx|∈(0,+∞),所以f(x)=-sin|tanx|不单调,故排除C.故选B.3.D 由图像知T2=54-14=1,所以T=2,ω=2π2=π,又图像过点34,-1,所以-1=sin3π4+φ,且|φ|<π,故φ=3π4,所以f(x)=sinπx+3π4,令2kπ-π2≤πx+3π4≤2kπ+π2,k∈Z,解得2k-54≤x≤2k-14,k∈Z,则f(x)的递增区间为-54+2k,-14+2k,k∈Z,故选D.\n4.C f(x)=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,∵x0为极小值点,∴f(x0)=-2,即sin2x0-π3=-1,∴2x0-π3=-π2+2kπ,k∈Z,即x0=-π12+kπ,k∈Z.∵x0∈-π4,π4,∴x0=-π12,f(2x0)=f-π6=2sin-π3-π3=-3,∴f(x0)+f(2x0)=-2-3,故选C.5.B 由三角函数的定义可知tanθ=3,则sin(32π+θ)+2cos(π-θ)sin(π2-θ)-sin(π-θ)=-cosθ-2cosθcosθ-sinθ=-31-tanθ=32.6.C fπ2=sincosπ2+cossinπ2=sin0+cos1=cos1,故A正确;∵f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin[cosx]+cos[sinx]=f(x),∴f(x)的一个周期是2π,故B正确;当x∈0,π2时,0<sinx<1,0<cosx<1,∴[sinx]=[cosx]=0,∴f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]=sin0+cos0=1,故C错误;∵f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+cos0=sin1+1>22+1>2,故D正确.7.6 由题意,得g(x)=sinωx-π3(ω>0),由f(x)与g(x)的图像关于点π3,0对称,得g(x)=-f2π3-x,即sinωx-ωπ3=sinωx-2ωπ3(ω>0)恒成立,所以ωx-ωπ3=2kπ+ωx-2ωπ3或ωx-ωπ3=2kπ+π-ωx+2ωπ3(ω>0)恒成立,即ωπ3=2kπ或2ωx=2kπ+π+ωπ(ω>0)恒成立,因为2ωx=2kπ+π+ωπ不恒成立,所以ωπ3=2kπ,k∈Z,所以正数ω的最小值为6.8.52π+4 作OM⊥CG交CG于点M,AP⊥OH交OH于点P,AQ⊥CG交CG于点Q,图略.设OM=3x,则DM=5x,∴OP=MQ=7-5x,∴AP=7-2-3x=5-3x,∴tan∠AOP=APOP=5-3x7-5x.又∵∠AOP=∠HAP,∴tan∠HAP=QGAQ=12-77-2=1=tan∠AOP,∴5-3x7-5x=1,解得x=1.∴∠AOP=π4,AP=2,∴OA=22,∴S阴=S扇AOB+S△AOH-12×π×12=12×π-π4×(22)2+12×22×22-12π=3π+4-π2=52π+4.9.解(1)因为f(x)=3sinωx2cosωx2+sin2ωx2=32sinωx+1-cosωx2=32sinωx-12cosωx+12=sinωx-π6+12.因为f(x)的最小正周期为2,即T=2πω=2,所以ω=π.\n(2)因为0≤x≤π2,ω>0,所以-π6≤ωx-π6≤ωπ2-π6.因为f(x)在区间0,π2上的最大值为32,只需ωπ2-π6≥π2,解得ω≥43,故ω的取值范围为43,+∞.10.解(1)由题意可知,△BCD的外接圆半径为533,由正弦定理BDsin∠BCD=2R=533×2,解得BD=5.(2)(方法1)在△ABD中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α,因为ABsin2α=ADsinα,所以AB2sinαcosα=3sinα,所以AB=6cosα.因为AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosα,即9=36cos2α+25-60cos2α,所以cosα=63.则AB=6cosα=26,sinα=33,所以S△ABD=12AB·BD·sinα=52.(方法2)在△ABD中,因为∠ADB=2∠ABD,所以sin∠ADB=sin2∠ABD=2sin∠ABDcos∠ABD,所以AB=2AD·cos∠ABD=2AD·AB2+BD2-AD22AB·BD,因为BD=5,AD=3,所以AB=26,所以cos∠ABD=63,则sin∠ABD=33,所以S△ABD=12AB·BD·sin∠ABD=52.11.解(1)因为asin(A+B-C)=csin(B+C),由正弦定理得sinAsin(π-2C)=sinCsin(π-A)=sinCsinA,因为sinA≠0,所以sin(π-2C)=sinC,即sin2C=2sinCcosC=sinC.因为sinC≠0,所以cosC=12.因为0<C<π,所以C=π3.(2)由S△ABC=12absinC=3,可得ab=4.因为2a+b=6,所以2a+4a=6,解得a=1或2.当a=1时,b=4,c2=a2+b2-2abcosC=13,c=13,所以周长为5+13.当a=2时,b=2,c2=a2+b2-2abcosC=4,c=2,所以周长为6.综上,△ABC的周长为6或5+13.
