数学解题中的几种常见错误在学习过程中，每个学生都会或多或少地犯一些错误，有的学生会认真地总结经验教训，确保以后不再犯同样的错误，有的学生则不善于总结，以至于一错再错，最终导致考场失利，每次月考结束后，总会有许多遗憾，某个选择题不该错，某个计算题粗心把结果算错，某道题忽略了一个已知条件，如此种种，举不胜举，为帮助同学们纠正常犯的解题错误，本文详细分析这些常见错误，并有针对性的给出纠正的办法：1、粗心之错这里所说的“粗心”，指的是一些莫名其妙，会而不对的错误，如计算60-15=55等等。例1，已知则||＋||＋……＋||的值为：错解：因||，||,……,||都是正值，故只需令，即可得和为。错因：粗心把忘掉减去。正解：令可得，||＋||＋……+||=例2，若函数是偶函数，则函数的图像的对称轴是。A、B、C、D、C、错解：可用特殊函数法，设,则是偶函数，。∴的对称轴为,选D。错因：也是粗心所致，你怎么能把代入中呢？正解：抽象函数问题可采用特殊函数法：设：,则是偶函数。∴对称轴为,选A。纠错方法：要纠正粗心的错误，唯有培养认真的习惯。2、理解错误理解错误主要指学生对概念的理解不全面，甚至错误，如对定义域为与值域为的理解混淆，造成张冠李戴的错误，对函数的定义域与函数有意义的理解模糊，造成合而为一的错误的现象等。例3，已知函数的值域为，则实数的取值范围为：。-6-\n错解：令，则恒成立，所以应有，解得。即的取值范围为（—4，0）。错因分析：以上错解的错误原因在于没有准确地理解函数的值域为的意义。根据对数函数的图像和性质可知，当且仅当的值能取遍一切正实数时，函数的值域才是，而当时，由图可知，恒成立，这只能说明函数的定义域为，而不能保证可以取遍一切正数，要使可以取遍一切正数，结合二次函数的图象可知，的图象应与轴有交点才能满足。正解：要使的值能取遍一切正实数，应有。解得或，即的取值范围为。例4，首项是，从第10项起开始比1大的等差数列的公差d的取值范围是。A、B、C、D、错解1：由,得,解得,故选A。错解2：由，且，得，故选C。错因分析：错解1只考虑到了这个条件，没有注意到题中“开始比1大”这段关键语句，错解2虽然注意到了这关键的语句，但却忽视了这种情况，因此都得出了错误的答案。正确解：由题意得：，即，-6-\n解得,选D。纠错方法：对于同学们出现的理解错误，最好的方法是回归课本，从教材中去重新理解概念。3、忽略之错这种错误主要表现在解题中忽略隐含条件，忽视特殊情况而导致的错误。例5，已知，是上的，减函数，那么的取值范围是。错解：由已知可得，解得，即的取值范围为。错因：忽略题中的隐含条件，时函数的最小值应比时的函数最大值还大。正解：由题意可知：解之得：。这类问题要特别注意隐含条件。例6，若，则对任意实数，的取值范围为。A、1B、区间（0,1）C、D、不能确定错解：D因，所以可以取无穷多个值，所以的值不能确定。错因：该解答过程忽略了一个隐含条件从而导致了错误的选D。正解：设点P（），则点P满足：解得：或即或所以故选A。例7，若向量,且的夹角为钝角，则的取值范围是：。错解：因的夹角为钝角，于是可以得到，所以，故或。错因：忽视了，不是夹角为钝角的充要条件，因为的夹角为180°-6-\n时也有，从而扩大了的范围，导致错误。正解：因的夹角是钝角，故，解得或………①又由共线且反向可得……②由①、②可得的范围是。例8已知曲线及A（0，0），B（2，3），若曲线C与线段AB只有一个公共点，求实数的取值范围：错解：直线AB的方程为：，由得曲线C与线段有且只有一个公共点：，由此得符合条件的的值为。错因：上述解法错误的原因在于忽略了直线与线段这两个概念的区别，线段AB的方程为：，而不是，曲线C与线段AB只有一个公共点等价于方程在[0，2]内只有一个根。正解：线段AB所在直线的方程为：由得……①要使两曲线只有一个公共点，只需方程①在之间只有一个根。当时，不符合题意，舍去。当时，要使方程①在[0，2]内只有一个根，因为，所以只需即可，由此得即。因此，符合条件的的取值范围为[1]。纠错方法：要纠正忽略之错，可认真审题，仔细分析题意。4、思维定式错误所谓思维定式就是人们通过训练，形成的思维习惯，如错误地将等式的性质类比到不等式中，造成习惯性的错解现象，如对分式不等式，习惯上不考虑分母的符号，直接将分式不等式化为整式不等式。-6-\n例9，不等式的解集为：错解： ，即。∴的的范围为（）。错因：受解分式方程的影响，去分母而导致错误。正解：不等式的解集为。纠错方法：克服思维定式，必须要从基础知识抓起，区分易混淆的式子。5、重复或遗漏之错这类错误通常发生在排列、组合、概率问题之中，因考虑不周，导致重复或遗漏。例10，从5双不同的鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的取法有种。错解：从5双鞋子中任取一双有种取法，第二步，从余下的8只中任取两只有种取法，由分步计数原理可知，一共有·=140种符合条件的取法。错因：第一步的种取法中，若取到这一双鞋，第二步的种取法中，取到另一双鞋；这种取法与第一步的种取法中取，第二步种取法到实际上是同一种取法，在上述解法中视为了不同的取法，因此产生了重复现象。正解：至少有2只成双有两种可能。恰有一双：种恰成二双：种，∴共有130种取法。纠错方法：避免重复或遗漏现象的方法就是分类或分步中一定要细心，认真领会排列组合的原理。6、以偏概全之错这类错误常发生在数列、圆锥曲线等问题中。例11，设数列的前项和为，则这个数列的通项公式为：。错解：因为，所以。错因：此题错在没有分析的情况，以偏概全，误认为任何情况下都有。正解：时，时，。∴-6-\n纠错方法：要克服这类错误，主要解决好特殊与一般的关系，有无前提条件等。错误并不可怕，可怕的是忽视错误，也许你的错误还不止以上所说的六种，但没关系，只要我们认真吸取自己或他人的教训，一定能开辟出自己的成功之路。-6-
