课后限时集训(十四) 对数与对数函数建议用时：40分钟一、选择题1．(多选)已知ab＞0，给出下面四个等式，其中不正确的有( )A．lg(ab)＝lga＋lgbB．lg＝lga－lgbC．lg2＝lgD．lg(ab)＝ABD [当a＜0，b＜0时，lg(ab)＝lg(－a)＋lg(－b)，lg＝lg(－a)－lg(－b)，故A，B错；当ab＞0时，＞0，lg2＝lg，故C正确；当ab＝1时，logab10无意义，故D错误．]2．(2020·张家界模拟)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝loga(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象可能为( )A BC DA [由a＞0知，函数f(x)＝2－ax为减函数，则排除C.当0＜a＜1时，函数f(x)的零点x＝＞2，则排除D.当a＞1时，函数f(x)的零点x＝＜2，且x＝＞0，则排除B.故选A.]3．(2020·海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102567种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为( )A．2566B．2567\nC．2568D．2569B [由题可知，lgN＝lg(4.02×102567)＝2567＋lg4.02.因为1＜4.02＜10，所以0＜lg4.02＜1，所以lgN的整数部分为2567.故选B.]4．(2020·运城模拟)若log2x＝log3y＝log5z＜－2，则( )A．2x＜3y＜5zB．5z＜3y＜2xC．3y＜2x＜5zD．5z＜2x＜3yB [设k＝log2x＝log3y＝log5z＜－2，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，∴2x＝2k＋1,3y＝3k＋1,5z＝5k＋1，由k＜－2知k＋1＜－1，即函数y＝xk＋1在(0，＋∞)上是减函数，∴5k＋1＜3k＋1＜2k＋1，即5z＜3y＜2x，故选B.]5．已知函数f(x)＝loga(6－ax)在区间[2,3]上为减函数，则a的取值范围是( )A．(1,2)B．(1,2]C．(1,3)D．(1,3]A [由a＞0知，函数y＝6－ax为减函数，要使f(x)＝loga(6－ax)在[2,3]上为减函数，则a＞1，且6－ax＞0在x∈[2,3]上恒成立，则有解得1＜a＜2，故选A.]6．已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则下列说法正确的是( )①f(x)在(2,6)上单调递增；②f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2；③f(x)在(2,6)上单调递减；④y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称．A．①②B．②③C．③④D．②④D [f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x－2)(6－x)，则f(x)＝lnt．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2,6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln2，故选D.]二、填空题7．计算：log10＋log50.25－log32＝________. [log10＋log50.25－log32＝2log510＋log50.25－3－log32＝log5100＋log5\n0.25－3log3＝log525－＝2－＝.]8．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________.log2x [由题意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.]9．已知a＞0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.x [设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝x.]三、解答题10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值．[解] (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，∴a＝2.由得－1＜x＜3，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.11．设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.(1)求f(3)的值；(2)求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值．[解] (1)∵函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9，故f(3)＝log327·log39＝3×2＝6.(2)令t＝log3x，则－2≤t≤2，且f(x)＝(log3x＋2)(1＋log3x)＝t2＋3t＋2，\n令g(t)＝t2＋3t＋2＝2－，故当t＝－时，函数g(t)取得最小值为－，此时求得x＝3＝；当t＝2时，函数g(t)取得最大值为12，此时求得x＝9.1．(多选)(2020·山东夏津一中月考)已知函数f(x)＝－log2x，下列说法正确的是( )A．函数f(|x|)为偶函数B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1C．函数f(－x2＋2x)在(1,3)上单调递增D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)|ABD [对于A，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，故A正确；对于B，若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得ab＝1，故B正确；对于C，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，故C错误；对于D，因为0＜a＜1，所以1＋a＞1＞1－a＞0,0＜1－a2＜1，所以f(1＋a)＜0＜f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝|－log2(1＋a)|－|－log2(1－a)|＝log2(1＋a)＋log2(1－a)＝log2(1－a2)＜0，故D正确．故选ABD.]2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A [由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－x<2y－y.设f(x)＝2x－x，则f(x)<f(y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－x在R上为增函数，所以f(x)＝2x－x在R上为增函数，则由f(x)<f(y)，得x<y，所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A.]3．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0，且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．[解] (1)因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，\n所以解得－1＜x＜1.故所求函数的定义域为{x|－1＜x＜1}．(2)f(x)为奇函数．证明如下：由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．故f(x)为奇函数．(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x＜1}上是增函数，由f(x)＞0，得＞1，解得0＜x＜1.所以x的取值范围是(0,1)．1.(2020·九江模拟)如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数y1＝logax，y2＝2logax，y3＝logax＋3(a＞1)的图象上，则a＝________.2 [设B(x1,2logax1)，C(x1，logax1＋3)，A(x2，logax2)，D(x2,2logax2)，则logax2＝2logax1，∴x2＝x，又2logax2＝logax1＋3,2logax＝logax1＋3，即x1＝a，x2＝a2，∵ABCD为正方形，∴|AB|＝|BC|.可得a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1(舍)．]2．若函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[解] 当0＜a＜1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga＞0，即0＜－a＜1.又2×－a＞0，解得＜a＜，且a＜1，故＜a＜1；当a＞1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)＞0，即1－a＞1，且2×－a＞0，解得a＜0，且a＜1，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.\n
