课后限时集训(五十二) 直线与椭圆建议用时：40分钟一、选择题1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0,3)∪(3，＋∞)B [由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意可知解得又m＞0，且m≠3，∴m＞1且m≠3.故选B.]2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A．B．C．D．B [由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.]3．(2020·沙坪坝区校级模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P(2,1)的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段AB中点，则|AB|＝( )A．B．C．D．D [设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，由两式相减得：＋＝0，\n化简得：＝－1，∴直线AB的斜率为－1，又∵直线AB过点P(2,1)，∴直线AB的方程为：y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3，联立方程消去y得3x2－12x＋10＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝，∴|AB|＝·＝，故选D.]4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1B [将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9，＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.]5．直线l过椭圆＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为( )A．B．±C．±D．B [由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝2－1＝1，则c＝1，则左焦点F(－1,0)．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋k.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.则PQ的中点M的横坐标为＝－.因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以－＝－，解得k＝±.]\n6．(多选)(2020·福建侨光中学月考)在平面内，若曲线C上存在点P，使点P到点A(3,0)，B(－3,0)的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”．以下曲线是“有用曲线”的是( )A．x＋y＝5B．x2＋y2＝9C．＋＝1D．x2＝16yACD [设点P的坐标为(x，y)，由点P到点A(3,0)，B(－3,0)的距离之和为10，可得点P的轨迹方程为＋＝1.对于A，由整理得41x2－250x＋225＝0，Δ＝2502－4×41×225＝25600＞0，因此曲线x＋y＝5上存在点P满足条件，故选项A给出的曲线是“有用曲线”；同理可得曲线＋＝1与＋＝1有交点(5,0)与(－5,0)，曲线x2＝16y与＋＝1显然也有交点，因此可判断选项C，D给出的曲线是“有用曲线”，而选项B给出的曲线x2＋y2＝9在曲线＋＝1的内部，无交点，故不是“有用曲线”．]二、填空题7．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＋等于________． [由题意可知F(－1,0)，故l的方程为y＝(x＋1)．由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－.∴A(0，)，B.又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，∴＋＝.]8．(2020·碑林区一模)在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________．5 [设P(4cosα，3sinα)，0≤α＜2π，点P到直线x－y－5＝0的距离为d＝＝＝，所以dmax＝＝5.]\n9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率为________． [设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝＝.]三、解答题10．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值．[解] (1)易知M，由＝得2b2＝3ac，故2(a2－c2)＝3ac，解得＝，＝－2(舍去).故椭圆的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点．故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28.故a＝7，b＝2.11．(2020·汨罗市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN\n的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围．[解] (1)由题意可知解得故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m代入椭圆方程，消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜4k2＋1①，由根与系数关系得x1＋x2＝－，则y1＋y2＝，所以线段MN的中点P的坐标为.又线段MN的垂直平分线l′的方程为y＝－(x－1)，由点P在直线l′上，得＝－，即4k2＋3km＋1＝0，所以m＝－(4k2＋1)②，由①②得＜4k2＋1，∵4k2＋1＞0，∴4k2＋1＜9k2，所以k2＞，即k＜－或k＞，所以实数k的取值范围是∪.1．(多选)若椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2，则以下结论中正确的是( )A．椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点B．＞C．a－a＝b－bD．a1－a2＜b1－b2\nACD [由题意可得两椭圆的焦点均在x轴上，且a－b＝a－b，即有a－a＝b－b，故C正确；由a1＞a2，可得b1＞b2，结合椭圆的对称性可得椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点，故A正确；由a－a＝b－b，得(a1－a2)(a1＋a2)＝(b1－b2)(b1＋b2)，则＝，由a1＞b1，a2＞b2，可得a1＋a2＞b1＋b2，则＜1，即有＜1，又b1＞b2，所以b1－b2＞0，所以a1－a2＜b1－b2，故D正确；由已知条件无法判断＞正确．故选ACD.]2．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )A．直线AB与OM垂直B．若点M的坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0C．若直线方程为y＝x＋1，则点M的坐标为D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝BD [对于A选项，根据椭圆的中点弦的性质得kAB·kOM＝－＝－2≠－1，所以A不正确；对于B选项，根据题意得，kOM＝1，又kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C选项，若直线方程为y＝x＋1，点M的坐标为，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D选项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，消去y得2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝|0－|＝，所以D正确．]3．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．[解] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.\n(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立整理得y2－y－9＝0，则Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，又＝2，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝.1．(2020·湖州模拟)已知直线x＝my＋2(m∈R)与椭圆＋＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________；若|AB|＝，则实数m的值是________． ±1 [易知直线x＝my＋2恒过点(2,0)，而点(2,0)恰为椭圆＋＝1的右焦点，则|AB|的最小值即为通径长＝，联立，消去x得，(5m2＋9)y2＋20my－25＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，则|AB|＝＝＝·＝·＝，解得m＝±1.]2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2，\n)，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过(0，－1)的直线l交椭圆于A，B两点，试问：是否存在一个定点T，使得以线段AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝b.所以椭圆C的方程为＋＝1.又椭圆C经过点P(2，)，代入椭圆方程得b＝3.所以a＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.(2)由已知动直线l过(0，－1)点．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16；当l与y轴重合时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点．因此，所求点T如果存在，只能是点(0,3)．以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0,3)．当l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T(0,3)．当l与x轴不垂直时，设l：y＝kx－1.由得(2k2＋1)x2－4kx－16＝0.由(0，－1)在椭圆内部知Δ＞0成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.又＝(x1，y1－3)，＝(x2，y2－3)，所以·＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝(1＋k2)·－4k·＋16＝0.所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,3)．所以存在一个定点T(0,3)满足条件.
