平面解析几何1．已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,则实数a的值为( )A.B.-4C.4D.【答案】B解析:由-2×8=0,得a=±4.当a=4时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1与l2重合.当a=-4时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2.综上所述,a=-4.故选:B由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（ ）A．23B．2C．6D．3【答案】A【解析】：根据题意：直线方程为：y=3x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为24-1=23，故选：A．3．直线l过点（﹣4，0）且与圆（x+1）2+（y﹣2）2=25交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线l的方程为（ ）A．5x+12y+20=0B．5x﹣12y+20=0或x+4=0C．5x﹣12y+20=0D．5x+12y+20=0或x+4=0【答案】D解析：当切线的斜率不存在时，直线l的方程为x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件．\n当切线的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣0=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，则圆心（﹣1，2）到直线l的距离为d=|-k-2+4k|k2+1=|3k-2|k2+1．再由d2+(AB2)2=r2，得|3k-2|k2+1=3，∴k=﹣512，∴直线l的方程为y﹣0=﹣512（x+4），即5x+12y+20=0．故选：D．1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则.2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.4．己知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 A．B．C．D．【答案】D解析：如图，由题意可得，，则，即，则，\n，即．故选：D．5．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为 A．B．C．D．【答案】B【解析】：椭圆的焦点为，，，根据正弦定理可得，，．设，，则，由余弦定理得，，，，又，，即，故，解得：或（舍．故选：B．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a,c，代入公式.（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.\n6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为 A．B．C．D．2【答案】A【解析】：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以，所以双曲线的离心率为．故选：A．7．双曲线的左右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与的公共点为，若△是直角三角形，则的离心率为 A．B．C．D．【答案】C【解析】：由题意知，若△是直角三角形，则，且，又由双曲线的定义，可得，可得，即，由，解得，故选：C．求双曲线的离心率一般有两种方法\n（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.8．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l作垂线，垂直为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是（ ）A．y2=12xB．y2＝xC．y2＝2xD．y2＝4x【答案】D【解析】：设直线l交x轴于点C∵AB⊥l，l⊥x轴，∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y轴，可得3+p2=2p，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是y2＝4x．故选：D．9．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,4)在抛物线C上，O为坐标原点，PF=5，且OP>5.（1）求抛物线C的方程；\n（2）过焦点F，且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l'交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN的面积.【解析】（1）将P(a,4)代入抛物线的方程y2=2px，得a=8p，所以P(8p,4)，因为PF=5，所以8p+p2=5，整理得p2-10p+16=0，解得p=2或p=8，当p=2时，P(4,4)，满足OP>5；当p=8时，P(1,4)，OP<5，不符合题意，舍去.所以抛物线C的方程为y2=4x.（2）因为l的方程为x=y+1，代入C：y2=4x，得y2-4y-4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4，y1y2=-4，故AB的中点为D(3,2)，AB=12+1(y1+y2)2-4y1y2=8.又因为l'的斜率为-1，所以l'的方程为y-2=-(x-3)，即x=-y+5.将上式代入C：y2=4x，并整理得y2+4y-20=0.设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3+y4=-4，y3y4=-20，故MN=(-1)2+1(y3+y4)2-4y3y4=83.所以四边形AMBN的面积S=12AB⋅MN=12×8×83=323.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：\n若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.1．已知直线l1：x•sinα+y﹣1=0，直线l2：x﹣3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（ ）A．23B．±35C．﹣35D．35【答案】D【解析】：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35．故选：D．两条直线的位置关系斜截式一般式与相交与垂直与平行且或与重合且2．圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为( )A.x+3y-2=0B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0D.x-3y+2=0\n【答案】D【解析】:∵点P(1,3)在圆x2+y2-4x=0上,∴点P为切点.从而圆心与点P的连线应与切线垂直.又∵圆心为(2,0),设切线斜率为k,∴0-32-1·k=-1,解得k=33.∴切线方程为x-3y+2=0.故选:D3.若直线与圆相切，则等于 A．1或B．或C．1或3D．或3【答案】A【解析】：根据题意，圆的圆心为，半径，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，解可得：或，故选：A．1．求过圆上的一点的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程.2．求过圆外一点的圆的切线方程：（1）几何方法当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程.（2）代数方法当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关\n于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线与双曲线C的右支相交于P，若，则双曲线C的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得P2a,3b，根据双曲线的定义有PF1-PF2=PF2=2a，双曲线的焦点F2c,0，故PF2=2a-c2+3b2=2a，两边平方化简得4c2-4ac-3a2=0，即4e2-4e-3=0，解得e=32，故ba2=e2-1=54，所以ba=52，即双曲线的渐近线方程为y=±52x.故选C．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.\n4．已知椭圆E:与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+23与椭圆E交于不同的两点A,B.(1)直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;(2)求的面积的最大值.【解析】(1)因为是边长为2的等边三角形,所以2c=2,b=3c,a=2,所以a=2,b=3,所以椭圆E:x24+y23=1,点M(0,3).将直线l:y=kx+23代入椭圆E的方程,整理得(3+4k2)x2+163kx+36=0. (*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得Δ=(163k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0,所以k∈(-∞,-32)∪(32,+∞),x1+x2=,x1x2=.则直线MA,MB的斜率之积为kMA·kMB==k2+9-36k236=14,所以直线MA,MB的斜率之积是定值.(2)记直线l:y=kx+23与y轴的交点为N(0,23)，则S△ABM=|S△ANM-S△BNM|=12|MN|·|x2-x1|=当且仅当4k2-9=12,即k=±∈(-∞,-32)∪(32,+∞)时等号成立,\n所以的面积的最大值为.5．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|.（1）求p的值；（2）已知点T(t,-2)为C上一点，M,N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为-83，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）设，由抛物线的定义，得，又，即，解得，将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知的方程为，所以点的坐标为，设直线的方程为，点，由得，所以，所以，解得，所以直线MN的方程为x+1=m(y+1)，恒过点(-1,-1).定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.\n1．与直线3x-2y=0平行，且过点-4,3的直线方程为 A.y-3=-32x+4B.y+3=32x-4C.y-3=32x+4D.y+3=-32x-42．已知直线l：y=x+b与曲线C：y=3-4x-x2有公共点，则b的取值范围为 A.-3,3B.3,1+22C.1-22,3D.1-22,1+223．圆C:x-12+y2=25，过点P2,-1作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 A.103B.921C.1023D.9114．若当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时，则直线y=k-1x+2的倾斜角α= A.3π4B.π4C.3π2D.5π45．已知A（3，﹣1），B（5，﹣2），点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P的坐标是（ ）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（135，﹣135）D．（﹣2，2）6．已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+12x+4y+15=0截得的弦长为8，则直线l的方程为（ ）A．y=﹣3或4x﹣3y+3=0B．y=﹣3或4x+3y+21=0C．x=﹣3或4x﹣3y+3=0D．x=﹣3或4x+3y+21=07．已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3=0，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是（ ）A．x+2=0，7x﹣24y+14=0B．y+2=0，7x+24y+14=0C．x+2=0，7x+24y+14=0D．y+2=0，7x﹣24y+14=08．平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，则点D的轨迹是（ ）\nA．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆9．若直线l:ax-by=2(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x+4y=0，则1a+1b的最小值为A．22B．2C．12(3+22)D．3+2210．圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为( )A.36πB.12πC.43πD.4π11．己知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 A．B．C．D．12．椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为 A．B．C．D．13．已知椭圆的左、右顶点分别为、，点为椭圆上不同于、两点的动点，若直线斜率的取值范围是，，则直线斜率的取值范围是 A．，B．，C．，D．，14．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 A．B．C．3D．515．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 A．2B．4C．6D．916．已知双曲线，点，点M是曲线上的一个动点，点满足，则点到原点的最短距离为 A．2B．C．D．1\n17．双曲线的左右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与的公共点为，若△是直角三角形，则的离心率为 A．B．C．D．18．设双曲线，命题：双曲线离心率，命题：双曲线的渐近线互相垂直，则是的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件19．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为 A．3B．2C．4D．20.若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为 A.2B.4C.6D.821.已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若AB→=5FB→，则|AB|＝（ ）A．252B．10C．254D．622.已知椭圆x2+2y2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（ ）A．32B．23C．303D．36223．已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则直线AB的方程是 . 24．已知动圆与圆及圆都内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．25．与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为26．在椭圆x216+y24=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为27．过椭圆C：x225+y29=1右焦点F的直线l交C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且A不在x轴上．（Ⅰ）求|y1y2|的最大值；（Ⅱ）若|AF||FB|=14，求直线l的方程．\n28．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为y=3x，右焦点F4,0，左右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线x=1交于M，N两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：FM⋅FN为定值，并求此定值．29．已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率e=233，直线l过Aa,0、B0,-b两点，原点O到直线l的距离是32．（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM⋅ON=-23，求直线m的方程．30．已知椭圆E的方程是x24+y23=1，左、右焦点分别是F1，F2，在椭圆E上有一动点A，过A，F1作一个平行四边形，使顶点A，B，C，D都在椭圆E上，如图所示．\n（1）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．（2）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．1.【答案】C【解析】因为所求直线与直线3x-2y=0的斜率相等，即为k=32，直线经过点-4,3，所以y-3=32x--4=32x+4．2.【答案】C3.【答案】C【解析】提示：最长弦为过点P的直径，最短弦经过点P且与CP垂直.4.【答案】A【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆的半径r=4-3k22，当k=0时，r有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线y=k-1x+2的斜率为-1，从而倾斜角为3π4．5.【答案】C【解析】：如下图所示：\n点A（3，﹣1），关于直线l：x+y=0的对称点为C（1，﹣3）点，由BC的方程为：x-14=y+31，即x﹣4y﹣13=0，可得直线BC与直线l的交点坐标为：（135，﹣135），即P点坐标为：（135，﹣135）时，|PA|+|PB|最小．故选：C．6.【答案】C【解析】：圆x2+y2+12x+4y+15=0的圆心C（﹣6，﹣2），半径r=5，若过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+12x+4y+15=0截得的弦长为8，则圆心C到直线l的距离d=3，由直线l过点M（﹣3，﹣3），当直线斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣3满足要求；当直线斜率存在时，设直线l的方程为y+3=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣3=0，则|-6k+2+3k-3|k2+1=3，解得：k=43，故直线l的方程为43x﹣y+1=0，即4x﹣3y+3=0故选：C．7.【答案】C【解析】：⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3=0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=16，故圆心是（2，3），半径是4，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，\n显然x+2=0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P（a，b），则MP的斜率是ba+2，直线直线MP的方程是：bx﹣（a+2）y+2b=0，故&3-b2-a⋅ba+2=-1&2b-3(a+2)+2bb2+(a+2)2=4，解得：&a=-26&b=7，故切线方程是7x+24y+14=0，故选：C．8.【答案】B【解析】：如图：延长DC，交直线OA与A′，因为点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，所以OB∥CA′，BC=12CA'，CD=DA，所以DA′﹣DA=CA′=2OB定值．2OB＜AA′，所求的D轨迹是双曲线．故选：B．9．【答案】C【解析】将x2+y2-2x+4y=0化为(x-1)2+(y+2)2=5，因为直线l:ax-by=2平分圆x2+y2-2x+4y=0，所以a+2b=2，又a>0,b>0，则1a+1b=12(a+2b)(1a+1b)=12（3+2ba+ab)≥3+222，\n当且仅当2ba=ab，即a=2b时取等号.故选C．【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力．10.【答案】B【解析】由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S=4π(3)2=12π.故选：B．11.【答案】D【解答】：如图，由题意可得，，则，即，则，，即．故选：D．12.【答案】A【解答】：由椭圆的定义可得，所以①，当在上（或下）顶点时，△的面积取得最大值，即最大值为②，由①②及联立求得，，，可得椭圆方程为，故选：A．13.【答案】D\n【解答】：设椭圆的左右顶点分别为，，，为椭圆上不同于，的任意一点，则，，，由在椭圆上，得，则．由椭圆，得，，，，．故选：D．14.【答案】B【解析】：抛物线的焦点坐标为，依题意，，．双曲线的方程为：，其渐近线方程为：，双曲线的一个焦点到其渐近线的距离等于．故选：B．15.【答案】D【解析】：椭圆是焦点在轴上的椭圆，且．双曲线和椭圆有相同的焦点，，．\n当且仅当，即，时取等号．的最小值为9．故选：D．16.【答案】B【解析】：由，得点的轨迹是以为直径的圆，设，为的中点，，则点到原点的最短距离为，故选：B．17.【答案】C【解析】：由题意知，若△是直角三角形，则，且，又由双曲线的定义，可得，可得，即，由，解得，故选：C．18.【答案】C【解析】：双曲线的渐近线方程为，离心率为，由，可得，即有，可得，即有渐近线方程为，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得，可得，即有是的充要条件，故选：C．19.【答案】A\n【解析】：抛物线标准方程，，焦点，准线方程为．设到准线的距离为，（即垂直于准线，为垂足），则，（当且仅当、、共线时取等号），故选：A．20.【答案】C【解析】因为抛物线为y2=4x，所以p=2，设A，B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则x1+x22=2，即x1+x2=4，故∣AB∣=x1+x2+p=4+2=6．故选：C21.【答案】C【解析】：设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝（x2﹣x1，y2﹣y1），又F（1，0），∴FB→=(x2-1，y2)，∴x2﹣x1＝5x2﹣5，y2﹣y1＝5y2，∴x1=5-4x2y1=-4y2，由y22=4x2(-4y2)2=4(5-4x2)，得x2=14，x1=4，∴|AB|=x1+x2+2=254．故选：C．22.【答案】C【解析】：设弦的两端的端点为（a，b）和（2﹣a，2﹣b）列方程组&a2+2b2=4&(2-a)2+2(2-b)2=4解得a=1+63，b=1﹣66或a=1﹣63，b=1+66两端点的坐标为（1﹣63，1+66）和（1+63，1﹣66）弦长为[(1-63)-(1+63)]2+[(1+66)-(1-66)]2=303．故选：C．23.【答案】:3x-3y-10=0解析:两圆的方程相减得-6x+6y+20=0,即3x-3y-10=0.\n24.【答案】.【解析】：设圆的圆心，半径；圆的圆心，半径．设动圆的圆心，半径．动圆与圆及圆都内切，，．，因此动点的轨迹是椭圆，设其标准方程为：．则，，解得，，．因此动圆圆心的轨迹方程是．故答案为：．25.【答案】【解析】：由题意得，曲线是焦点在轴上的椭圆，且，所以双曲线焦点的坐标是、、，因为双曲线与曲线共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则，解得，所以双曲线方程为.26.【答案】x﹣2y+4=0【解析】：设以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x216+y24=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），∵点P（﹣2，1）是线段AB的中点，∴&x1+x2=-4&y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，得&x12+4y12=16①&x22+4y22=16②，①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，\n∴﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，k=y1-y2x1-x2=12，∴以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为y-1=12(x+2)，整理，得x﹣2y+4=0．故答案为：x﹣2y+4=0．27.【解析】：（Ⅰ）椭圆C：x225+y29=1右焦点F为（4，0），设AB的直线方程为x=ky+4，由&x225+y29=1&x=ky+4，消x可得（9k2+25）y2+72ky﹣81=0，∴|y1y2|=819k2+25，当k=0时，|y1y2|有最大值，最大值为8125，（Ⅱ）∵|AF||FB|=14，∴|FB|=4|AF|，∴FB→=4AF→，∴y2=﹣4y1，由（Ⅰ）可得y1y2=﹣819k2+25=﹣4y12，y1+y2=﹣72k9k2+25=﹣3y1，∴(24k)2(9k2+25)2=814(9k2+25)，解得k=±377，∴直线方程为x=±377y+4，∴7x±3y﹣47=0．28.【解析】（1）由已知可得c=4,ba=3,c2=a2+b2,⇒a=2,b=23.故双曲线方程为x24-y212=1． （2）设Px0,y0，则A1P:y=y0x0+2x+2，A2P:y=y0x0-2x-2，所以M1,3y0x0+2，N1,-y0x0-2，所以\nFM⋅FN=-3,3y0x0+2⋅-3,-y0x0-2=9-3y02x02-4=9-3y02y023=0.即FM⋅FN为定值0．29.【解析】（1）依题意，l的方程为xa+y-b=1，即bx-ay-ab=0，由原点O到直线l的距离为32，得aba2+b2=abc=32，又e=ca=233，所以b=1，a=3．故所求双曲线方程为x23-y2=1． （2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx-1，则点M、N坐标x1,y1、x2,y2是方程组y=kx-1x23-y2=1的解，消去y，得1-3k2x2+6kx-6=0 ⋯⋯①依题意，1-3k2≠0，由根与系数关系知x1+x2=6k3k2-1,x1x2=63k2-1.OM⋅ON=x1,y1⋅x2,y2=x1x2+y1y2=x1x2+kx1-1kx2-1=1+k2x1x2-kx1+x2+1=61+k23k2-1-6k23k2-1+1=63k2-1+1.因为OM⋅ON=-23，所以63k2-1+1=-23，k=±12．当k=±12时，方程①有两个不等的实数根．故直线m的方程为x-2y-2=0或x+2y+2=0．30.【解析】（1）由椭圆方程：x24+y23=1，F1-1,0，如图，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x=my-1，点Ax1,y1，Bx2,y2，联立方程，3x2+4y2-12=0,x=my-1,得3m2+4y2-6my-9=0，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，若四边形ABCD为菱形，则OA⊥OB，\n即OA⋅OB=0，所以x1x2+y1y2=0，又x1x2=my1-1my2-1=m2y1y2-my1+y2+1，所以m2+1y1y2-my1+y2+1=0，得到-12m2-53m2+4=0，显然这个方程没有实数解，故四边形ABCD不能是菱形． （2）由题SABCD=4S△AOB，而S△AOB=12∣OF1∣∣y1-y2∣，又∣OF1∣=1，即SABCD=2∣OF1∣∣y1-y2∣=2y1+y22-4y1y2，由（1）知y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，所以SABCD=236m2+363m2+43m2+42=24m2+13m2+42=2419m2+1+1m2+1+6,因为函数ft=9t+1t，t∈1,+∞，在t=1时，ftmin=10，所以SABCD的最大值为6，此时m2+1=1，即m=0时，此时直线AB⊥x轴，即四边形ABCD是矩形．
