由数列的递推公式求通项公式的常用方法一 准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．等差数列等比数列定义数列的后一项与前一项的差为常数数列的后一项与前一项的比为常数q（q≠0）专有名词为公差q为公比通项公式前n项和数列的前n项和与通项公式的关系是：．有些数列不是用通项公式给出，而是用与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．二 例题精讲例1．（裂项求和）求．解：因为所以例2．（倒数法）已知数列中，，，求{an}的通项公式．-6-\n解：∴是以为首项，公差为2的等差数列，即，∴．练习1．已知数列中，a1=1，，求{an}的通项公式．解：，∴是以1为首项，公差为2的等差数列．∴=1+2（n－1）=2n－1，即．∴=∴例3．（求和法，利用公式）已知正数数列的前n项和，求的通项公式．解：，所以．∵，∴∴，即．∴是以1为首项，公差为1的等差数列．-6-\n∴，即．∴（n≥2）∴．例4．（叠加法）已知数列的前n项和满足（），且，求的通项公式．解：先考虑偶数项有：S2n－S2n－2=－3·S2n－2－S2n－4=－3·……S4－S2=－3·将以上各式叠加得S2n－S2=－3×，所以．再考虑奇数项有：S2n＋1－S2n－1=3·S2n－1－S2n－3=3·……S3－S1=3·将以上各式叠加得．-6-\n所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．综上所述，即．例5．（类型数列）在数列中，an+1=2an－3，a1=5，求的通项公式．解：∵an+1－3=2（an－3）∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴an－3=2n∴an=2n+3．练习2．在数列中，a1=2，且，求的通项公式．解：，∴．∴{an+12－1}是以3为首项，公比为的等差数列．∴an+12－1=3×，即．例6（类型）已知数列中，a1=1，且，求的通项公式．解：（待定系数法）设，则，与比较可知．所以是常数列，且．-6-\n所以，即．练习3．已知数列满足，其中是的前n项和，求的通项公式．解：∵，∴（待定系数法）设，化简得：，所以，即∴，又∵，∴，，∴是以为公比，以为首项的等比数列．∴，即，．例7．（型）（2022年江西高考题）已知数列各项为正数，且满足，．⑴求证：；⑵求的通项公式．解：⑴略．⑵，∴，∴∴由⑴知，所以，∴，-6-\n即是以为首项，公比为的等比数列，∴，化简得．练习4．（2022年广州二模）已知函数（）．在数列中，，（），求数列的通项公式．解：，从而有，由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有（）．例8．（三角代换类型）已知数列中，，，求的通项公式．解：令，则an+1=，∴．-6-
