用函数观点看数列问题 新教材将数列安排在函数之后学习，强调了数列与函数知识的密切联系．从函数的观点出发，变动地、直观地研究数列的一些问题，一方面有利于认识数列的本质，另一方面有利于加深对函数概念的理解．本文拟用函数的观点来认识一些数列问题． 1数列的本质 数列可看作一个定义域为N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，用图象表示是一群孤立的点．例如，对于公差不为零的等差数列{an}来说，它的通项是关于n的一次函数，从图象上看，表示这个数列各点均匀地分布在一次函数y=ax+b(a≠0)的图象上；它的前n项和Sn是关于n的无常数项的二次函数，因此Sn/n也是关于n的一次函数．式是________． 考虑到an是关于n的一次函数，故pn＋q与(n－1)或(2n－1)是同类因式． 由待定系数法知： p＋q=0(舍去)或p＋2q=0． 例2等差数列{an}中，ap=q，aq=p(p≠q)求ap+q． 解由于等差数列的通项an是关于n的一次函数，故三点(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap＋q)共线． 解由题设知：公差a≠0． 例4已知｛an｝是等差数列． (1)2a5=a3＋a7是否成立？2a5=a1＋a9是否成立？ (2)2an=an-2＋an+2(n＞2)是否成立？2an=an-k＋an+k(n＞k＞0)是否成立？ (新教材第一册(上)第119页习题10)-4-\n 解表示数列{an}的各点，均匀地分布在一条直线上．不妨设公差d＞0． (1)如图1，画出点(3，a3)，(5，a5)，(7，a7)． 由中位线定理得2a5=a3＋a7． 如图2，画出点(1，a1)，(5，a5)，(9，a9)． 作辅助线AC，同样有2a5=a1＋a9．故(1)中两式全成立． (2)画出图3，图4． 类似(1)，有2an=an-2＋an+2(n＞2)，2an=an-k＋an+k(n＞k＞0)．故(2)中两式全成立． 说明在例4中运用图象直观地刻划了等差数列的有关性质，同样还可直观地刻划等差数列的其它性质，如 (i)an=am＋(n－m)d(m，n，∈N*)； (ii)若m＋n=p＋q，则am＋an=ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． 2数列的单调性 在数列｛an｝中，如果an＜an+1对n∈N*都成立，那么称{an}是单调递增数列；如果an＞an+1对n∈N*都成立，那么称{an}是单调递减数列．数列的单调性可以用函数的单调性来刻划．例如，公差不为零的等差数列的单调性与一次函数的单调性相同；公比大于零且不等于1的等比数列的单调性与指数型函数y=kax(a＞0且a≠1)的单调性相同． 例5已知数列的通项公式为an=n2－10n＋10．这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？ 解表示数列{an}的各点都在函数y=x2－10x＋10的图象上． 由图5可得，这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大，从第9项起各项的数值均为正值，第9项是与首项相同的项．-4-\n 说明以函数的观点认识、理解数列，才能自觉地用函数的单调性去研究数列的单调性． ∴数列{an}为递减数列， ∴数列｛an｝中的最大项为 即log(a－1)a－2loga(a－1)＞1成立． 解此不等式可得 3数列的最值 运用函数观点求数列的最值，可以更深刻地认识数列的本质，同时又能深化对函数概念的理解． 例7若数列{an}的通项公式为an=－n2＋7n(n∈N*)，求an的最大值，并与函数y=－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较． 解作出函数y=－x2＋7x(x∈R)的图象． 从图象上看，表示数列{an}的各点都在抛物线y=－x2＋7x(x∈R)上，由图象得 -4-\n 说明经比较发现数列{an}与函数y=－x2＋7x(x∈R)在不同的地方取到不同的最大值，这是由于两者的定义域不同所造成的． 例8等差数列｛an｝前n项和为Sn，已知a1＞0，S9=S16，问n为何值时，Sn最大？ 解由题意知：{an}是单调递减数列，故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上，又点 ∴当n=12或n=13时，Sn最大． 函数是高中数学的重要知识，它象一根主线贯穿于高中数学的各个章节中．新教材在数列这一章中大量渗透了函数思想，这正是新教材“新”之所在，它不仅有助于学生认识数列的本质，而且也使学生对函数概念的理解逐步升华．-4-
