等差数列中“和问题”的一种处理方法 公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1＋(n－1)d(n∈N)，若函数f(x)=dx＋(a1－d)(x∈R)，则有an=f(n)．本文称函数f(x)为等差数列{an}的伴随函数，这样便有下面的定理． 定理若f(x)为等差数列{an}的伴随函数，且mi(i=1，2，3，…，k)为自然数，则 证：∵f(x)为等差数列{an}的伴随函数， ∴f(x)=dx＋(a1－d)(x∈R)， 故定理得证． 证由定理得： 利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题． 例1在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，则a2＋a8=[] A．45． B．75． C．180． D．300． 例2设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，求S110． 解设f(x)为数列{an}的伴随函数，由推论得 ∴f(5.5)＝10； -3-\n 由于f(x)为一次函数，故 解得f(55.5)＝－1， 从而S110＝110×(－1)＝－110． 解设等差数列{an}与{bn}的伴随函数分别为f(x)与g(x)，由推论知 例4设等差数列{an}前n项中奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶． 求证：1)n为偶数2m时，S偶－S奇＝md(d为公差)，S奇∶S偶＝am∶am+1； 2)n为奇数2m－1时，S奇－S偶＝am，S奇∶S偶＝m∶(m－1)． 解：设f(x)为数列{an}的伴随函数，由定理知， 1)n为偶数2m时有： 所以，S偶－S奇＝m(am+1－am)＝md，S奇∶S偶＝am∶am+1． 2)当n为奇数2m－1时有：-3-\n 所以，S奇－S偶＝mam－(m－1)am＝am，S奇∶S偶＝m∶(m－1)． 以上数例表明，本文给出的定理是对等差数列众多性质的浓缩，因而有一定的实用价值．-3-
