数学文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,则“”是“”的（）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（为虚数单位），则A.B.C.D.3.若，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.4.已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（）A.若,,则；B.若,,则；C.若,,则；D.若,,则；5.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为（）分组人数5152010频率0.10.30.40.2A.B.C.D.6.已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，,设，则数列的前10项之和等于（）A.55B.70C.85D.1007.在中,，,点在上且满足,则等于()A．B．C．D．\n8.在△中，角的对边分别为，若，则的值为()A.B.C.D.9.设变量x,y满足约束条件,则目标函数的（）A．最大值为，最小值为；B．最大值为，最小值不存在；C．最大值为，最小值不存在；D．最大值不存在，最小值为；10.如图，是一个算法程序框图，在集合A＝{x|－10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值作为x输入，则输出的y值落在区间(－5,3)内的概率为( )A．0.4B．0.5C．0.6D．0.811.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点M，使，O为坐标原点，且，则该双曲线离心率为()A.B.C.D.12.定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则等于（）A．B．C．D．第II卷(非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.的值为________14.\n已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为_______________.15．已知,,若直线与圆相切,则的取值范围是________．16.函数的定义域为A,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:①函数是单函数;②函数是单函数;③若为单函数,且,则;④若函数在定义域内某个区间D上具有单调性,则一定是单函数.其中真命题是(写出所有真命题的编号).三、解答题:本大题共６小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知向量，.（Ⅰ）若，，且，求；（Ⅱ）若，求的取值范围.18.（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数如下表：1号2号3号4号5号甲组45x910乙组567y9(1)已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数为7，分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差，并由此分析两组技工的加工水平；(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若2人加工的合格零件个数之和超过14，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．ABCEFB1C1A119.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，且，、\n分别为、的中点．（1）求证：⊥平面；（2）当时，求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.21.（本小题满分12分）已知函数..（I）设曲线处的切线为，点（1，0）到的距离为，求a的值；（II）若对于任意实数恒成立，试确定的取值范围；（III）当是否存在实数处的切线与y轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.OBACEFDG请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的⊙直径，与⊙相切于，为线段上一点，连接、分别交⊙于、两点，连接交于点.（I）求证：、、、四点共圆.（II）若为的三等分点且靠近，，，求线段的长.\n23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程．已知圆锥曲线C：为参数）和定点,是此圆锥曲线的左、右焦点。(Ⅰ)以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；(Ⅱ)经过点，且与直线垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求的值.24．（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲．已知函数。(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)若，且，求证：.参考答案1-12ADDCCCDABDBC13.14.15.16.③17.解：（Ⅰ）∵∴----------------1分∵∴整理得----------------------3分∴或----------------------4分或∵∴---------6分（Ⅱ）----------------------8分\n令，对称轴为--------9分∴当时，，当时，----------------------11分∴的取值范围为.----------------------12分甲组方差＝乙组方差＝∵＝，>，∴两组技工水平基本相当，乙组更稳定些．(2)从甲、乙两组中各随机抽取一名技工，加工的合格零件个数包含的基本事件为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25个．而车间“质量合格”包含的基本事件为(7,8)，(7,9)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共11个，因此，所求概率P＝，即该车间“质量合格”的概率为.19.（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，不妨设，为等腰直角三角形，，，E、F分别为BC、的中点，，，，有，，又平面ABC，\n，，平面AEF．…………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，，，………………………………………………………（8分），，在中，，，………………（10分）设点到平面的距离为，则，所以，即点到平面的距离为1．（12分）20.解:（Ⅰ）∵A,设直线方程为,令,则,∴,-------------------1分∴∵∴=,整理得------------2分∵B点在椭圆上,∴,∴∴即,∴-------------------4分（Ⅱ）∵可设,∴椭圆的方程为\n由得-------------------5分∵动直线与椭圆有且只有一个公共点P∴,即整理得------------------8分设P则有,∴又,Q若轴上存在一定点，使得,∴恒成立整理得,------------------10分∴恒成立,故所求椭圆方程为------------------12分21.（Ⅰ）,.在处的切线斜率为，∴切线的方程为，即.……2分又点到切线的距离为,所以，解之得，或…………4分（Ⅱ）因为恒成立，若恒成立；\n若恒成立，即，在上恒成立，（Ⅲ）依题意,曲线的方程为,令所以,设,则,当,故在上单调增函数,因此在上的最小值为即又时,所以曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解,但是,没有实数解,故不存在实数使曲线在点处的切线与轴垂直.…………12分22.（Ⅰ）连接，则，，所以，所以，所以四点共圆.………..5分（Ⅱ）因为，则，又为三等分，所以，，又因为，所以，…………………….10分\n23．（Ⅰ）C：，轨迹为椭圆，其焦点，，即，即…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），,l的斜率为，倾斜角为，所以l的参数方程为（t为参数）代入椭圆C的方程中，得：因为M、N在的异侧…10分24.（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}．………5分（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|．……………6分因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|．
