第五章 翰林汇翰林汇翰林汇翰林汇万有引力定律第一单元 万有引力定律及其应用根底知识一.开普勒运动定律(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．二.万有引力定律(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．(2)公式：F＝G,其中，称为为有引力恒量。(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离．注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．三、万有引力和重力-35-/35\n重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球外表的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如以下图，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而外表物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G,g=GM/r2常用来计算星球外表重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（r+h）2，比较得gh=（）2·g在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，那么有F＝F向＋m2g，所以m2g=F一F向＝G－m2Rω自2因地球目转角速度很小G»m2Rω自2,所以m2g=G假设地球自转加快，即ω自变大，由m2g＝G－m2Rω自2知物体的重力将变小，当G=m2Rω自2时，m2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝，比现在地球自转角速度要大得多.四.天体外表重力加速度问题设天体外表重力加速度为g,天体半径为R，由mg=得g=,由此推得两个不同天体外表重力加速度的关系为五．天体质量和密度的计算原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力．-35-/35\nG=mr，由此可得：M=；ρ===（R为行星的半径）由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M．假设知道行星的半径那么可得行星的密度规律方法1、万有引力定律的根本应用【例1】如以下图，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？分析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余局部对质点的引力之和，即可得解．解 完整的均质球体对球外质点m的引力这个引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余局部对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2之和，即F=F1+F2．因半径为R/2的小球质量M/为，那么所以挖去球穴后的剩余局部对球外质点m的引力说明 （1-35-/35\n）有局部同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余局部的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式却只能适用于两个质点或均匀球体，挖去球穴后的剩余局部已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计算引力．（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余局部对球外质点m的引力上式说明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样．【例2】某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝½g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距地球外表有多远？（地球半径R＝6.4×103km,g取10m/s2）解析：设此时火箭上升到离地球外表的高度为h，火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg/，据牛顿第二定律．N－mg/=ma……①在h高处mg/＝……②在地球外表处mg=……③把②③代入①得∴=1.92×104km.说明:在本问题中，牢记根本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力．【例3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。-35-/35\n解析：根据单摆周期公式：其中l是单摆长度，g0和g分别是两地点的重力加速度。根据万有引力公式得其中G是引力常数，M是地球质量。由以上各式解得【例4】登月火箭关闭发动机在离月球外表112km的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5min,月球的半径是1740km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度．解析：设月球半径为R，月球质量为M，月球密度为ρ，登月火箭轨道离月球外表为h，运动周期为T，火箭质量为m，由GMm/r2=m4π2r/T2得M=4π2r3/（GT2），ρ=M/V，其中V=4π2R3/3，那么F向=mω2r=m4π2（R+h）/T2，F引=GMm/（R+h）2，火箭沿轨道运行时有F引=F向，即GMm/（R+h）2=m4π2（R+h）/T2故M=4π2（R+h）3/（GT2）2=7.2×1022kg,ρ=3M/4πR3=3.26×103kg/m3【例5】已知火星上大气压是地球的1/200．火星直径约为球直径的一半，地球平均密度ρ地=5.5×103kg/m3，火星平均密度ρ火=4×103kg/m3．试求火星上大气质量与地球大气质量之比．分析 包围天体的大气被吸向天体的力．就是作用在整个天体外表（把它看成平面时）的大气压力．利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比，即可算出它们的大气质量之比．解 设火星和地球上的大气质量、重力加速度分别为m火、g火、m地、g地-35-/35\n，火星和地球上的大气压分别为据万有引力公式，火星和地球上的重力加速度分别为综合上述三式得【例6】一个宇航员在半径为R的星球上以初速度v0竖直上抛一物体，经ts后物体落回宇航员手中．为了使沿星球外表抛出的物体不再落回星球外表，抛出时的速度至少为多少？解析：物体抛出后，受恒定的星球引力作用，做匀减速运动，遵循着在地面上竖直上抛时的同样规律．设星球对物体产生的“重力加速度”为gx，那么由竖直上抛运动的公式得为使物体抛出后不再落回星球外表，应使它所受到的星球引力正好等于物体所需的向心力，即成为卫星发射了出去。，这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇宙速度。【例7】在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星外表上，再经过屡次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星外表弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星外表时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。-35-/35\n分析：第一次落到火星外表弹起在竖直方向相当于竖直上抛，在最高点由于只有水平速度故将做平抛运动，第二次落到火星外表时速度应按平抛处理。无论是竖直上抛还是平抛的计算，均要知道火星外表的重力加速度g/。利用火星的一个卫星的相关数据可以求出g/。解：设火星的一个卫星质量为m，任一物体的质量为m/，在火星外表的重力加速度为g/，火星的质量为M。任一物体在火星外表有:……①火星的卫星应满足：……②第一次落到火星外表弹起在竖直方向满足：v12＝2g/h……③第二次落到火星外表时速度应按平抛处理：……④由以上4式可解得2、讨论天体运动规律的根本思路根本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。【例8】2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经980的经线在同一平面内．假设把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经980和北纬α＝400，已知地球半径R、地球自转周期T,地球外表重力加速度g（视为常数）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．解析：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度．由万有引力定律和牛顿定律有-35-/35\n，式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有ω=2π/T；因，得GM=gR2．设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如以下图，由余弦定律得：所求的时间为t＝L/c．由以上各式得【例9】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点。（1）根据万有引力定律可得：（2）同理，还有所以，周期为（3）根据线速度公式，-35-/35\n【例10】兴趣小组成员共同协作，完成了下面的两个实验：①当飞船停留在距X星球一定高度的P点时，正对着X星球发射一个激光脉冲，经时间t1后收到反射回来的信号，此时观察X星球的视角为θ，如以下图．②当飞船在X星球外表着陆后，把一个弹射器固定在星球外表上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的时间为t2.已知用上述弹射器在地球上做同样实验时，小球在空中运动的时间为t，又已知地球外表重力加速度为g，万有引力常量为G，光速为c，地球和X星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计，试根据以上信息，求：（1）X星球的半径R；（2）X星球的质量M；（3）X星球的第一宇宙速度v；PX星球θ(4)在X星球发射的卫星的最小周期T.解析：（1)由题设中图示可知：（R＋½ct1）sinθ＝R，∴R=(2）在X星球上以v0竖直上抛t2＝，在地球上以v0竖直上抛：t＝，，又由，（3）mg'＝(4）当v达第一宇宙速度时，有最小周期T.【例11】天体运动的演变猜测。在研究宇宙开展演变的理论中，有一种说法叫做“宇宙膨胀说”，认为引力常量在慢慢减小。根据这种理论，试分析现在太阳系中地球的公转轨道平径、周期、速率与很久很久以前相比变化的情况。-35-/35\n【解析】地球在半径为R的圆形轨道上以速率v运动的过程中，引力常数G减小了一个微小量，万有引力公式。由于太阳质量M,地球质量m,r均未改变，万有引力F引必然随之减小，并小于公转轨道上该点所需的向心力（速度不能突变）。由于惯性，地球将做离心运动，即向外偏离太阳，半径r增大。地球在远离太阳的过程中，在太阳引力的作用下引起速率v减小，运转周期增大。由此可以判断，在很久很久以前，太阳系中地球的公转轨道半径比现在小，周期比现在小，速率比现在大。由引力常量G在慢慢减小的前提可以分析出太阳系中地球的公转轨道半径在慢慢变大，说明宇宙在不断地膨胀。试题展示1．已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为A.0.2B.2C.20D.200答案：B解析：设太阳质量M，地球质量m，月球质量m 0，日地间距离为R，月地间距离为r，日月之间距离近似等于R，地球绕太阳的周期为T约为360天，月球绕地球的周期为t=27天。对地球绕着太阳转动，由万有引力定律：G=m，同理对月球绕着地球转动：G=m0，那么太阳质量与地球质量之比为M:m=；太阳对月球的万有引力F=G，地球对月球的万有引力f=G，故F:f=，带入太阳与地球质量比，计算出比值约为2，B对。-35-/35\n2．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球外表约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球外表的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是A．0.6小时B．1.6小时C．4.0小时D．24小时答案：B解析：由开普勒行星运动定律可知，恒量，所以，r为地球的半径，h1、t1、h2、t2分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（24h），代入数据得：t1=1.6h．3.火星的质量和半径分别约为地球的和，地球外表的重力加速度为g，那么火星外表的重力加速度约为A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g答案：B【解析】：考察万有引力定律。星球外表重力等于万有引力，G=mg，故火星外表的重力加速度==0.4，故B正确。4．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，那么以下物理量变化正确的选项是BCA．地球的向心力变为缩小前的一半B．地球的向心力变为缩小前的C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同-35-/35\nD．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半5．天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出CA．行星的质量B．行星的半径C．恒星的质量D．恒星的半径6．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球外表重量为600N的人在这个行星外表的重量将变为960N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为BA．0.5B．2.C．3.2D．47．2022年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c。这颗围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，外表可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球外表附近轨道，以下说法正确是BcA．飞船在Gliese581c外表附近运行的周期约为13天B．飞船在Gliese581c外表附近运行时的速度大于7.9km/sC．人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大D．Gliese581c的平均密度比地球平均密度小8．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为B水星金星地球火星木星土星公转周期（年）0.2410.6151.01.8811.8629.5-35-/35\nA．1.2亿千米B．2.3亿千米C．4.6亿千米D．6.9亿千米9.已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球外表的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球作圆周运动，由得⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。（13分）(1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。正确的解法和结果是： ①得 ②（2）方法一：对月球绕地球作圆周运动，由得 ③ 方法二：在地面重力近似等于万有引力，由得 ④10．-35-/35\n天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2。根据题意有ω1＝ω2①r1＋r2＝r②根据万有引力定律和牛顿定律，有G③G ④联立以上各式解得 ⑤根据解速度与周期的关系知⑥联立③⑤⑥式解得-35-/35\n11．宇航员在地球外表以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；假设他在某星球外表以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球外表重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计）⑴求该星球外表附近的重力加速度g/；⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。解：⑴故：⑵，所以可解得：M星:M地＝1´12:5´42＝1:80，12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如以下图。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率和运行周期T。（1）可见星A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为、，试求（用、表示）；（2）求暗星B的质量与可见星A的速率、运行周期T和质量之间的关系式；-35-/35\n（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量的2倍，它将有可能成为黑洞。假设可见星A的速率，运行周期，质量，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（）（1）设A、B的圆轨道半径分别为、，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有设A、B之间的距离为，又，由上述各式得①由万有引力定律，有，将①代入得令比较可得②（2）由牛顿第二定律，有③又可见星A的轨道半径④由②③④式解得⑤（3）将代入⑤式，得代入数据得⑥设，将其代入⑥式，得⑦-35-/35\n可见，的值随的增大而增大，试令，得⑧假设使⑦式成立，那么必大于2，即暗星B的质量必大于2，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。第二单元 专题：人造天体的运动根底知识一、卫星的绕行角速度、周期与高度的关系（1）由，得，∴当h↑，v↓（2）由G=mω2（r+h），得ω=，∴当h↑，ω↓（3）由G，得T=∴当h↑，T↑二、三种宇宙速度：①第一宇宙速度（环绕速度）：v1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。②第二宇宙速度（脱离速度）：v2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。-35-/35\n①第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。三、第一宇宙速度的计算．方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力．G=m，v=。当h↑，v↓，所以在地球外表附近卫星的速度是它运行的最大速度。其大小为r＞＞h（地面附近）时，=7．9×103m/s方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．．当r＞＞h时．gh≈g所以v1＝=7．9×103m/s第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．四、两种最常见的卫星⑴近地卫星。近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，由式②可得其线速度大小为v1=7.9×103m/s；由式③可得其周期为T=5.06×103s=84min。由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km，线速度约7.6km/s，周期约90min。⑵同步卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T=24h。由式G=m=m（r+h）可得，同步卫星离地面高度为h＝-35-/35\n－r＝3·58×107m即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h=3.6×104km，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。因为卫星轨道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合，同步卫星的线速度v==3.07×103m/s 通讯卫星可以实现全球的电视转播，从图可知，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。由于通讯卫星都必须位于赤道上空3.6×107m处，各卫星之间又不能相距太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。设想在赤道所在平面内，以地球中心为圆心隔50放置一颗通讯卫星，全球通讯卫星的总数应为72个。五.了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据卫星飞行速度及周期仅由距地高度决定与质量无关。设卫星距地面高度为h，地球半径为R，地球质量为M，卫星飞行速度为v，那么由万有引力充当向心力可得v=[GM/（R+h）]½。知道了卫星距离地面的高度，就可确定卫星飞行时的速度大小。不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表：高度(km)030050010003000500035900（同步轨道）38000（月球轨道）环绕速度(km/s)7.917.737.627.366.535.292.770.97周期（分）84.490.594.510515021023小时56分28天六、卫星的超重和失重（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．-35-/35\n(2)卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．七、人造天体在运动过程中的能量关系当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中卫星的动能为，由于重力加速度g随高度增大而减小，所以重力势能不能再用Ek=mgh计算，而要用到公式（以无穷远处引力势能为零，M为地球质量，m为卫星质量，r为卫星轨道半径。由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。）因此机械能为。同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。八、相关材料I．人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论当火箭与卫星别离时，设卫星的速度为v（此即为发射速度），卫星距离地心为r,并设此时速度与万有引力垂直（通过地面控制可以实现）如以下图，那么，假设卫星以v绕地球做圆周运动，那么所需要的向心力为：F向＝①当F万=F向时，卫星将做圆周运动．假设此时刚好是离地面最近的轨道，那么可求出此时的发射速度v＝7.9km/s.②当F万＜F向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，卫星动能转化为引力势能．（神州五号即属于此种情况）-35-/35\n③当F万＞F向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动，假设此时发生在最近轨道，那么v＜7.9km/s，卫星将坠人大气层烧毁。因此：星箭别离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件．2.人造卫星如何变轨卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如以下图，在轨道A点，万有引力FA＞，要使卫星改做圆周运动，必须满足FA＝和FA⊥v，在远点已满足了FA⊥v的条件，所以只需增大速度，让速度增大到＝FA，这个任务由卫星自带的推进器完成．这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度到达沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的．规律方法1、处理人造天体问题的根本思路-35-/35\n由于运行中的人造天体，万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力，因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心．解关于人造卫星问题的根本思路：①视为匀速圆周运动处理；②万有引力充当向心力；③根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算；④利用代换式gR2=GM推导化简运算过程。注意：①人造卫星的轨道半径与它的高度不同．②离地面不同高度，重力加速度不同，【例l】设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面越高，那么卫星的（）A．速度越大B．角速度越大C．向心加速度越大；D．周期越长解析：（1）v与r的关系：G=m；即（r越大v越小）．所以答案A错误．（2）ω与r的关系：G=mω2r，，即（r越大，ω越小）．所以答案B错误．（3）a与r的关系：G=ma，a=GM/r2，即a∝1/r2。卫星绕轨道半径r运转时的向心加速度与该处的重力加速度g/相等，所以g/＝a，g/∝1/r2，（r越大．加速度越小）．所以答案C错误．（4）T与r的关系：G=mr，T=2π即T∝（r越大，T越大）．所以答案D正确．因GM＝g0R02，所以T＝2π，当r=Ro时，T＝Tmin＝2π答案：D说明：可以看出，绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星，线速度越小而周期越大。【例2】设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g0，那么以下说法错误的选项是（）-35-/35\nA.卫星的线速度为；B.卫星的角速度为；C.卫星的加速度为；D.卫星的周期；解析：在地面：;在高空：；g=¼g0；此重力加速度即为卫星的向心加速度故C选项错误．卫星的线速度故A选项正确．周期故D选项正确角速度故B选项正确2、人造天体的发射与变轨【例3】一组太空人乘坐大空穿梭机，去修理位于离地球外表6．0×105m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H．机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜那么在穿梭机前方数公里处，如以下图，设G为引力常数，而ME为地球质量．（已知：地球半径为6．4×106m）（1）在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重是多少？（2）①计算轨道上的重力加速度的值．②计算穿梭机在轨道上的速率和周期．（3）①证明穿梭机的总机械能跟成正比，r为它的轨道半径．［注：假设力F与位移r之间有如下的关系：F=K／r2（其中K为常数），那么当r由∞处变为0，F做功的大小可用以下规律进展计算：W＝K／r（设∞处的势能为0）］．②-35-/35\n穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜．用上题的结果判所穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率，解释你的答案．【解析】：（1）在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重为0．（2）①因为mg/＝G［MEm/（R＋h）2］，所以g/=GME／（R＋h）2，其中R＝6．4×106m，h＝6．0×105m．g/=8．2m／s2②地球对穿梭机的万有引力提供向心力．有：GMEm/（R＋h）2＝mv2/（R＋h）=m（2π/T）2（R十h），所以v==7．6×103m／sT＝＝5．8×103s．（3）①因为万有引力F＝GMEm/r2满足F＝k（1／r2）（其中k＝GMEm为常数），由“注”可知，当穿梭机与地球之间的距离由∞处变到r时，万有引力对其所做的功w＝k/r=GMEm/r，又因为：万有引力对穿梭机做多少功，其重力势能就减小多少，假设设∞处的势能为零，那么穿梭机在半径为r的轨道上时。其重力势能为E=一GMEm/r，那么穿梭机此时的总机械能E总=EP十Ek=一GMEm/r十½mv2．代入（2）中的v值，得：E总=一GMEm/r十½m（GME/r）＝一（GMEm/2）（1／r）故穿梭机的总机械能跟一1／r成正比，得证．因为E总跟一1／r成正比，故进入低轨道时总机械能要减小，故必须减速，使总机械能减小，当速度减小后，在引力场的作用下进展低轨道运行，因引力做正功，动能增加，低轨道环绕速度vr/大于原轨道环绕速度vr，又因为v＝ωr，vr/＞vr，r/＜r，那么ωr/＞ωr，从而获得较大的角速度，那么可能赶上哈勃太空望远镜．Qv2v3Pv4v1【例4】如以下图，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2-35-/35\n，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来______。解析：根据题意有v2>v1、v4>v3,而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由式②知v1>v4,故结论为v2>v1>v4>v3。卫星沿椭圆轨道由P→Q运行时，由机械能守恒可知，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2>v3。]卫星的回收实际上是卫星发射过程的逆过程。【例5】在空中飞行了十多年的“和平号”航天站已失去动力，由于受大气阻力作用其绕地球转动半径将逐渐减小，最后在大气层中坠毁，在此过程中以下说法正确的选项是（）A．航天站的速度将加大B．航天站绕地球旋转的周期加大C．航天站的向心加速度加大D．航天站的角速度将增大【解析】由GMm/r2=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=ma得v=，ω＝．T＝2π可知r减小，v增大，ω增大，T减小，a增大．A、C、D正确．【例6】“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要进展屡次“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进展轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是 Ａ.动能、重力势能和机械能都逐渐减小 Ｂ.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变 Ｃ.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变 Ｄ.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小[由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功所以卫星的机械能减小；由于重力做正功所以-35-/35\n重力势能减小；由式②可知卫星动能将增大(这也说明重力做的功大于抑制阻力做的功，外力做的总功为正)。答案选D。]【例7】飞船发射过程是一个加速过程，在加速过程中，宇航员处于__超重状态____状态。人们把这种状态下的重力与静止在地球外表时的重力的比值称为耐受力值，用K表示，那么K=__K=1+a/g_____（设宇航员的质量为m，加速上升加速度为a），选择宇般员时，要求他在此状态的耐受值为4≤K≤12，说明飞船发射时的加速度值的变化范围 __3g≤a≤11g_______.【例8】飞船在发射升空时，如果宇航员是站立的，那么他的心血管系统受到何种影响？你认为宇航员采取什么资势为好？答：由于在发射升空过程中，人处于超衙状态下，头部血压降低，足部血压升高，使大量血液淤积在下肢静脉中，严重影响静脉血的回流，使心脏输出血量缺乏，造成头部供血缺乏，轻那么引起视觉障碍，重那么可能导致意识丧失，所以宇航员采用平躺姿势为好。【例9】航天飞船进入距地表3R地的轨道绕地球做圆周运动时，质量为64kg的宇航员处于_完全失重___状态，他的视重为__0___N。实际所受力__40___N。【例10】假设飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（A）A可以从较低的轨道上加速B可以从较高的轨道上加速C可以从与空间站同一轨道上加速D无论在什么轨道上，只要加速都行【例11】我国的国土辽阔，在东西方向上分布在东经70°到东经135°的广阔范围内，所以我国发射的同步通信卫星一般定点在赤道上空3.6万公里，东经100°附近。假设某颗通信卫星方案定点在赤道上空东经104°-35-/35\n的位置。经测量刚进入轨道时它位于赤道上空3.6万公里，东经103°处。为了把它调整到104°处，可以短时间启动星上的小型发动机，通过适当调整卫星的轨道高度，改变其周期，从而使其自动“漂移”到预定经度。然后再短时间启动星上的小型发动机调整卫星的高度，实现最终定点。这两次调整高度的方向应该依次是 Ａ.向下、向上Ｂ.向上、向下Ｃ.向上、向上Ｄ.向下、向下[东经103°在东经104°西边，为使卫星向东漂移，应使它的周期变小，为此应降低其高度，所以先向下；到达东经104°后，再向上。]【例12】设想宇航员完成了对火星外表的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如以下图．为了平安，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．求该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量，才能返回轨道舱？已知：返回过程中需抑制火星引力做功W＝mgR（1一R/r），返回舱与人的总质量为m，火星外表重力加速度为g，火星半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r；不计火星外表大气对返回舱的阻力和火星自转的影响．Rr解析：物体m在火星M外表附近时，有＝mg解得GM＝gR2设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，那么返回舱与轨道舱对接时，应具有的动能为Ek=½mv2联立解得依题意知返回舱返回过程需抑制引力做功W＝mgR（1－R/r）返回舱返回时至少需要能量为W总=Ek+W=说明：这是一道关于天体运动的信息题．题中有多个对象，解题时要分清研究对象，选好规律．-35-/35\n【例13】2022年10月15日上午9时，我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟五号”载人航天飞船，这是我国首次实现载人航天飞行，也是全世界第三个具有发射载人航天器能力的国家．“神舟五号”飞船长8.86m;质量为7990kg.飞船在到达预定的椭圆轨道后运行的轨道倾角为42.40，近地点高度200km，远地点高度约350km.实行变轨后，进入离地约350km的圆轨道上运行，飞船运动14圈后，于16日凌晨在内蒙古成功着陆．（地球半径Ro=-6.4×106m，地球外表重力加速度g=10m/s2，··＝5.48，计算结果保存三位有效数字）求：（1)飞船变轨后在轨道上正常运行时的速度．（2)飞船在圆轨道上运行的周期．解析：设飞船的质量为m，地球质量为M.飞船在圆轨道上运行时：对于地面上质量为m0的物体有：由上两式得飞船的运行速度为：飞船在圆轨道上运行时的周期为：Oαθ说明：天体运动的问题，要紧扣两条主线：万有引力提供向心力，重力等于万有引力．【补例】地球赤道上的N城市想实施一个“人造月亮”方案，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光射到地球上，使这座城市在午夜时分有“日出”时的效果，假设此时的N城市正值盛夏季节，地球的半径为R，自转周期为T，地球外表重力加速度为g，太阳在非常遥远的地方．求（1)地球同步卫星离地心的距离-35-/35\n(2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差α。（3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角θ解析：（1)设地球及同步卫星的质量分别为M,m，那么又：g＝GM/R2，可得：(2)过赤道平面的截面图如以下图，水平入射光线MA经反射后的反射光线AN与地球相切，故∠MAN＝900卫星所在经线在平面内的投影为OA,N城市所在经线在平面内的投影为ON,所以：α＝arccos(R/r)θ＝450＋arcsin（R/r）说明：此题的关键是理解“午夜万分有‘日出’时的效果”的含义，并要有一定的空间想象力，且能画出截面图，能力要求较高．试题展示1.据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200km,运用周期127分钟。假设还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是A．月球外表的重力加速度B．月球对卫星的吸引力C．卫星绕月球运行的速度D．卫星绕月运行的加速度答案：B【解析】因为不知道卫星的质量，所以不能求出月球对卫星的吸引力。2.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球外表约600km-35-/35\n的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球外表的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是A．0.6小时 B．1.6小时 C．4.0小时 D．24小时答案：B【解析】：由开普勒行星运动定律可知，恒量，所以，r为地球的半径，h1、t1、h2、t2分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（24h），代入数据得：t1=1.6h．3.据报道．我国数据中继卫星“天链一号01星”于2022年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月l日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01卫星”，以下说法正确的选项是A．运行速度大于7.9Kg/sB．离地面高度一定，相对地面静止C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等答案：BC【解析】：由题目可以后出“天链一号卫星”是地球同步卫星，运行速度要小于7.9,而他的位置在赤道上空，高度一定，A错B对。由可知，C对。由可知，D错。-35-/35\n4.图是“嫦娥一导奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭屡次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，以下说法正确的选项是A．发射“嫦娥一号”的速度必须到达第三宇宙速度B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D．在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力答案：C【解析】由于发射过程中屡次变轨，在开场发射时其发射速度必须比第一宇宙速度大，不需要到达第三宇宙速度，选项A错误。在绕月轨道上，根据可知卫星的周期与卫星的质量无关，选项B错误，选项C正确。由于绕月球运动，地球对卫星的引力较小，应选项D错误。5.在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假设宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，那么月球的密度为 BA．B．C．D．-35-/35\n6.我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展。设地球、月球的质量分别为m1、m2，半径分别为R1、R2，人造地球卫星的第一宇宙速度为v，对应的环绕周期为T，那么环绕月球外表附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为AA．，B．，C．，D．，7.现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为rA和rB。如果rA＜rB，那么AA．卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大B．卫星A的线速度比卫星B的线速度大C．卫星A的角速度比卫星B的角速度大D．卫星A的加速度比卫星B的加速度大8.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球外表全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。【解析】：如以以下图所示：-35-/35\n设O和分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心线与地月球外表的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球外表、月球外表和卫星轨道的交点．过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在圆弧上运动时发出的信号被遮挡．设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有：①（4分）②（4分）②式中，T1表示探月卫星绕月球转动的周期．由以上两式可得：③设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，那么由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有： ④（5分）上式中，．由几何关系得： ⑤（2分） ⑥（2分）由③④⑤⑥得：-35-/35\n ⑦（3分）9.神舟载人飞船在绕地球飞行进展变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度km的圆形轨道。已知地球半径km，地面处的重力加速度。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保存两位有效数字）设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有地面附近由已知条件解以上各式得代入数值，得10.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星外表上，再经过屡次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星外表弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ0，求它第二次落到火星外表时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。-35-/35\n解：在火星外表，在万有引力等于重力得GMrm02′=m′g′①火星的一个卫星，绕火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力GMrm2=m(2π)2r②探测器着陆时，竖直方向为自由落体运动υ12=2g′h③探测器第二次落到火星外表时速度的大小υ=√υ12+υ02④由① ②③④得υ=√8π22hr02r3+υ02w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com-35-/35
