1.3万有引力定律及其应用阶段检测(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。1～7为单项选择题，8～12为多项选择题。)1.在物理学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是( )A.开普勒进行了“月—地检验”，得出天上和地上的物体都遵从万有引力定律的结论B.哥白尼提出“日心说”，发现了太阳系中行星沿椭圆轨道运动的规律C.第谷通过对天体运动的长期观察，发现了行星运动三定律D.牛顿发现了万有引力定律解析 牛顿得出万有引力定律，A错误，D正确；开普勒发现行星运动三定律，B、C错误。答案 D2.如图1所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知( )图1A.火星绕太阳运行过程中，速率不变B.地球靠近太阳的过程中，运行速率减小C.火星远离太阳过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大D.火星绕太阳运行一周的时间比地球的长解析 根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳、行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，可知行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，地球靠近太阳过程中运行速率将增大，选项A、B、C错误；根据开普勒第三定律，可知所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。由于火星的半长轴比较大，所以火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，选项D正确。9\n答案 D3.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F，为使此物体受到的万有引力减小到，应把此物体置于距地面的高度为(R指地球半径)( )A.RB.2RC.4RD.8R解析 在地球表面时有F＝G，当物体受到的万有引力减小到时，有＝G，解得h＝R。答案 A4.如图2所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、v、S分别表示卫星的轨道半径、周期、速度、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有( )图2A.TA<TBB.EkA>EkBC.SA＝SBD.＝解析 卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝m＝mR，得v＝，T＝2π，由RA>RB可知，TA>TB，vA<vB，A、B错误；由开普勒第三定律可知，＝，D项正确；卫星与地心的连线在t时间内扫过的面积S＝πR2＝，可见轨道半径大的卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积大，C项错误。答案 D5.“太空涂鸦”技术就是使低轨运行的攻击卫星在接近高轨侦查卫星时，准确计算轨道向其发射“漆雾”弹，并在临近侦查卫星时，压爆弹囊，让“漆雾”散开并喷向侦查卫星，喷散后强力吸附在侦查卫星的侦察镜头、太阳能板、电子侦察传感器等关键设备上，使之暂时失效。下列说法正确的是( )A.攻击卫星在轨运行速率大于7.9km/s9\nB.攻击卫星进攻前的速度比侦查卫星的速度小C.攻击卫星完成“太空涂鸦”后应减速才能返回低轨道上D.若攻击卫星周期已知，结合万有引力常数就可计算出地球质量解析 7.9km/s是地球卫星的最大环绕速度，选项A错误；攻击卫星进攻前在低轨运行，轨道半径小于高轨侦查卫星，根据G＝m可知攻击卫星进攻前的速度比侦查卫星的速度大，选项B错误；攻击卫星完成“太空涂鸦”后减速做近心运动能返回低轨道上，选项C正确；根据G＝mr可知，计算地球质量，除了知道攻击卫星周期、万有引力常数，还需知道攻击卫星的轨道半径，选项D错误。答案 C6.“嫦娥”一号探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图3所示。之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，则下面说法正确的是( )图3A.T1>T2>T3B.T1<T2<T3C.a1>a2>a3D.a1<a2<a3解析 卫星沿椭圆轨道运动时，周期的平方与半长轴的立方成正比，故T1>T2>T3，A项正确，B项错误；不管沿哪一轨道运动到P点，卫星所受月球的引力都相等，由牛顿第二定律得a1＝a2＝a3，故C、D项均错误。答案 A7.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球质量的7倍，地球的半径为R，由此可知，该行星的半径约为( )9\nA.RB.RC.2RD.R解析 物体平抛时水平方向满足x＝v0t，所以＝＝；竖直方向由h＝gt2得g＝，因此＝＝。在星球表面物体所受的重力等于万有引力，由g＝得＝＝2，又因为R2＝R，所以R1＝2R，故选项C正确。答案 C8.一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，则与收缩前相比( )A.同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍B.同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍C.星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍D.星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍解析 由重力等于万有引力mg＝G可知，同一物体在星球表面受到的重力增大为原来的16倍，选项A错误，B正确；由第一宇宙速度计算式v＝可知，星球的第一宇宙速度增大为原来的两倍，选项C错误，D正确。答案 BD9.“嫦娥二号”探月卫星在月球上方100km的圆形轨道上运行。已知月球半径、月球表面重力加速度、万有引力常数G。根据以上信息可求出( )A.卫星所在处的加速度B.月球的平均密度C.卫星线速度大小D.卫星所需向心力解析 由黄金代换式＝mg可求出月球的质量，代入密度公式可求出月球的密度，由＝m＝ma可求出卫星所在处的加速度和卫星的线速度，因为卫星的质量未知，故没法求卫星所需的向心力。答案 ABC10.我国发射的第一颗探月卫星“嫦娥一号”，进入距月球表面高度为h的圆形轨道正常运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常数为G，则( )9\nA.“嫦娥一号”绕月球运行的周期为2πB.“嫦娥一号”绕行的速度为C.“嫦娥一号”绕月球运行的角速度为D.“嫦娥一号”轨道处的重力加速度为g解析 设月球质量为M，卫星质量为m，在月球表面上，万有引力约等于其重力有＝mg，卫星在高为h的轨道上运动时，万有引力提供向心力有＝mg′＝m＝mω2(R＋h)＝m(R＋h)，由以上二式算出g′、v、ω、T，选项A、B错误，C、D正确。答案 CD11.有一宇宙飞船到了某行星附近(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星表面匀速环绕，测出运动的周期为T，已知引力常数为G，则可得( )A.该行星的半径为B.该行星的平均密度为C.无法求出该行星的质量D.该行星表面的重力加速度为解析 由T＝可得R＝，A正确；由＝m可得M＝，C错误；由M＝πR3ρ得ρ＝，B正确；由G＝mg得g＝，D错误。答案 AB12.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图4所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则( )图49\nA.每颗星做圆周运动的线速度为B.每颗星做圆周运动的角速度为C.每颗星做圆周运动的周期为2πD.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关解析 任意两个星体之间的万有引力F＝，每一颗星体受到的合力F1＝F由几何关系知，它们的轨道半径r＝R合力提供它们的向心力＝联立解得v＝，故A正确；由＝解得T＝2π，故C正确；角速度ω＝＝，故B错误；由牛顿第二定律＝ma得a＝，所以加速度与它们的质量有关，故D错误。答案 AC二、非选择题(本题共4小题，共40分)13.(10分)“嫦娥一号”探月卫星在空中的运动可简化为如图5所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道。已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R和R1，地球半径为r，月球半径为r1，地球表面重力加速度为g，月球表面重力加速度为。求：9\n图5(1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小；(2)卫星在工作轨道上运行的周期。解析 (1)设卫星在停泊轨道上运行的线速度为v，卫星做圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，有G＝m，且有G＝m′g，由此得v＝r。(2)设卫星在工作轨道上运行的周期为T，则有G＝mR1，又有G＝m′×，解得T＝。答案 (1)r (2)14.(10分)某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为60m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体(g地取10m/s2)，问：(1)该星球表面的重力加速度g是多少？(2)射程应为多少？解析 (1)根据G＝mg得g＝。因为星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，则＝＝36。则星球表面的重力加速度g星＝36×10m/s2＝360m/s2。(2)根据h＝gt2，得t＝，知平抛运动的时间之比＝。根据x＝v0t知，水平射程之比＝。所以x星＝×60m＝10m。答案 (1)360m/s2 (2)10m9\n15.(10分)由于银河系外某双黑洞系统的合并，北京时间2022年2月11日，美国国家科学基金会(NSF)宣布人类首次直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦的预言。其实中国重大引力波探测工程“天琴计划”也已经于2022年7月份正式启动，“天琴计划”的其中一个阶段就是需要发射三颗地球高轨卫星进行引力波探测，假设我国发射的其中一颗高轨卫星以速度v沿圆形轨道环绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，地球半径为R，引力常量为G，根据以上所给条件，试求：(1)地球的质量M；(2)地球的平均密度(球体体积V＝πR3)。解析 (1)地球卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得G＝m(R＋h)，v＝，解得M＝(2)ρ＝，地球体积V＝，解得ρ＝。答案 (1) (2)16.(10分)人造卫星是由运载火箭点火发射后送入其运行轨道的，其发射后的飞行过程大致可分为：垂直加速阶段、惯性飞行阶段和进入轨道阶段，如图6所示，设地球表面重力加速度g＝10m/s2，地球的半径R＝6.4×103km。图6(1)设某次发射过程中，有一在地球表面重为40N的物体，放置在该卫星中。在卫星垂直加速上升的过程中，a＝5m/s2时物体与卫星中的支持面的相互作用力为30N，则卫星此时距地面的高度为多少？(2)当卫星进入离地表高为地球半径3倍的圆形轨道运动时，它运行的速度为多少？解析 (1)由40N＝mg可知m＝4kg在卫星垂直加速上升的过程中，由牛顿第二定律得N－mg1＝ma，解得g1＝2.5m/s2。9\n由＝mg1，得＝mg，g1＝以上两式联立解得h＝R＝6.4×103km，故卫星此时距地面的高度为6.4×103km。(2)根据万有引力提供向心力，有＝m卫，由黄金代换式GM＝gR2，联立解得v＝4km/s。故当卫星进入离地表高为地球半径3倍的圆形轨道运动时，它运行的速度为4km/s。答案 (1)6.4×103km (2)4km/s9
