绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。第I卷1至2页。第二卷3至4页。考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷本卷须知：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3．第I卷共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。参考公式：如果事件互斥，那么球的外表积公式如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径一．选择题(1)复数(A)(B)(C)12-13(D)12+131．A【命题意图】本小题主要考察复数的根本运算,重点考察分母实数化的转化技巧.【解析】.(2)记,那么A.B.-C.D.-2.B【命题意图】本小题主要考察诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】,所以(3)假设变量满足约束条件那么的最大值为(A)4(B)3(C)2(D)13.B【命题意图】本小题主要考察线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.8/8\n【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为.xAL0A（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，那么=(A)(B)7(C)6(D)【命题意图】本小题主要考察等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考察了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以(5)的展开式中x的系数是(A)-4(B)-2(C)2(D)45.B【命题意图】本小题主要考察了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考察了考生的一些根本运算能力.【解析】故的展开式中含x的项为,所以x的系数为-2.(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种【命题意图】本小题主要考察分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有+种.(7)正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为ABCD8/8\nABCDA1B1C1D1O7.D【命题意图】本小题主要考察正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决此题的关键所在,这也是转化思想的具体表达.【解析】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,那么,.所以,记DD1与平面AC所成角为,那么,所以.（8）设a=2,b=In2,c=,那么Aa<b<cBb<c<aCc<a<bDc<b<a8.C【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考察指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法那么的应用.【解析】a=2=,b=In2=,而,所以a<b,c==,而,所以c<a,综上c<a<b.(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，∠p=，那么P到x轴的距离为(A)(B)(C)(D)9.B【命题意图】本小题主要考察双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考察转化的数学思想，通过此题可以有效地考察考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cos∠P=,即cos,解得,所以，故P到x轴的距离为（10）已知函数F(x)=|lgx|,假设0<a<b,且f(a)=f(b),那么a+2b的取值范围是(A)(B)(C)(D)10.A【命题意图】8/8\n本小题主要考察对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易无视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+2b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令,由“对勾”函数的性质知函数在(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为(A)(B)(C)(D)【命题意图】本小题主要考察向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考察最值的求法——判别式法,同时也考察了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析】如以下图：设PA=PB=,∠APO=,那么∠APB=，PO=，，===，令，那么，即，由是实数，所以，，解得或.故.此时.（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，假设AB=CD=2,那么四面体ABCD的体积的最大值为(A)(B)(C)(D)【命题意图】本小题主要考察几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考察考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,那么有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第二卷本卷须知：8/8\n1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第二卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3。第二卷共l0小题，共90分。二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效)(13)不等式的解集是.13.[0,2]【命题意图】本小题主要考察根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的根本思路，也让转化与化归的数学思想表达得淋漓尽致.解析:原不等式等价于解得0≤x≤2.(14)已知为第三象限的角，,那么.14．【命题意图】本小题主要考察三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考察了根本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第三象限的角,所以，又<0,所以,于是有,,所以.y=1xyaO(15)直线与曲线有四个交点，那么的取值范围是.15.(1,【命题意图】本小题主要考察函数的图像与性质、不等式的解法,着重考察了数形结合的数学思想.【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知，a的取值必须满足解得.(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，那么的离心率为.16.8/8\n【命题意图】本小题主要考察椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考察了数形结合思想、方程思想,此题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，,作轴于点D1,那么由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题总分值10分)(注意：在试题卷上作答无效)已知的内角，及其对边，满足，求内角．17.【命题意图】本小题主要考察三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考察边角互化的转化思想的应用.(18)(本小题总分值12分)（注意：在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进展评审．假设能通过两位初审专家的评审，那么予以录用；假设两位初审专家都未予通过，那么不予录用；假设恰能通过一位初审专家的评审，那么再由第三位专家进展复审，假设能通过复审专家的评审，那么予以录用，否那么不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．18.【命题意图】此题主要考察等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考察分类与整合思想、化归与转化思想.（19）（本小题总分值12分）（注意：在试题卷上作答无效）8/8\n如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.【命题意图】本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等根底知识,考察空间想象能力、推理论证能力和运算能力.(20)(本小题总分值12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知函数.（Ⅰ）假设，求的取值范围；（Ⅱ）证明：.【命题意图】本小题主要考察函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考察了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考察了函数与方程思想、化归与转化思想.（21）(本小题总分值12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考察抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考察考生综合运用数学知识进展推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考察了数形结合思想、设而不求思想..（22）(本小题总分值12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知数列中，.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；8/8\n（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.【命题意图】本小题主要考察数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等根底知识和根本技能，同时考察分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考察.8/8
