高考数学第三次调研考试试题数学学科试题及答案本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据，，，的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积、为高柱体体积公式球的表面积、体积公式，其中为底面面积，为高其中为球的半径第I卷（填空题）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．如果复数的模为，则6.2．已知集合，则.3．抛物线的焦点坐标为.4．如图所示，一个水平放置的“靶子”共由10个同心圆构成，其半径分别为1㎝、2㎝、3㎝、…、10㎝，最内的小圆称为10环区，然后从内向外的圆环依次为9环区、8环区、…、1环区，现随机地向“靶子”上撒一粒豆子，则豆子落在8环区的概率为.5．某几何体的底部为圆柱，顶部为圆锥，其主视图如图所示，若12/12\n，则该几何体的体积为.6．如图所示的程序框图，如果输入三个实数，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入的内容是.7．将函数的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则的值为.8．已知函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（2，3）.第9题(1)(2)(3)(4)第11题ABCDEFH9．图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则=.（答案用数字或的解析式表示）12/12\n10．已知递增的等比数列满足，且的等差中项，若，则数列的前项和=.11．在边长为1的菱形中，，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点H，则=.12．若关于的方程的两个实数根满足,则的取值范围是.13．若椭圆上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是.14．已知定义在R上的函数满足，当时，.若对任意的，不等式组均成立，则实数k的取值范围是.第II卷（解答题）二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(本小题满分14分)如图所示，角为钝角，且，点分别在角的两边上．（Ⅰ）若，求的长；（Ⅱ）设，且，求的值．第15题12/12\n解：（Ⅰ）因为角为钝角，且，所以…………………………2分在中，由，得………………………………………………5分解得或(舍)，即的长为2………………………………………7分（Ⅱ）由，得…………………………………………………9分又，………………………………11分所以……………………………………………………………………14分16．(本小题满分14分)0.0750246810家到学校的路程(里)0.050.150.20.025某高中地处县城，学校规定家到学校的路程在10里以内的学生可以走读，因交通便利，所以走读生人数很多.该校学生会先后5次对走读生的午休情况作了统计，得到如下资料：①若把家到学校的距离分为五个区间：，则调查数据表明午休的走读生分布在各个区间内的频率相对稳定，得到了如右图所示的频率分布直方图；②走读生是否午休与下午开始上课的时间有着密切的关系.下表是根据5次调查数据得到的下午开始上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表.下午开始上课时间1：301：401：502：002：10平均每天午休人数250350500650750（Ⅰ）若随机地调查一位午休的走读生，其家到学校的路程(单位：里)在的概率是多少？（Ⅱ）如果把下午开始上课时间1：30作为横坐标0，然后上课时间每推迟10分钟，横坐标x增加1，并以平均每天午休人数作为纵坐标y，试根据表中的5列数据求平均每天午休人数与上课时间x之间的线性回归方程；（Ⅲ）预测当下午上课时间推迟到2：20时，家距学校的路程在6里路以上的走读生中约有多少人午休？解答：（Ⅰ）…………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，可得如下表格：x0123412/12\ny250350500650750则所以………8分再由，得，故所求线性回归方程为……………………10分（Ⅲ）下午上课时间推迟到2：20时，，，此时，家距学校的路程在6里路以上的走读生中约有133人（134人）……………………14分17．(本小题满分14分)如图甲，在直角梯形中，，，，是的中点.现沿把平面折起，使得（如图乙所示），、分别为、边的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在上找一点，使得平面.第17题图甲图乙解答：（Ⅰ）证：因为PA⊥AD,PA⊥AB,，所以平面……………4分（Ⅱ）证：因为,A是PB的中点，所以ABCD是矩形，又E为BC边的中点，所以AE⊥ED。又由平面,得,且,所以平面，而平面，故平面平面…………………………………………………………9分（Ⅲ）过点作∥交于，再过作∥交于,连结。由∥,平面,得∥平面；由∥，平面，得∥平面，又，所以平面∥平面……………………………………………12分再分别取、的中点、，连结、，易知是的中点，是的中点，从而当点满足时，有平面。………………………………………14分12/12\n18．(本小题满分16分)已知圆，相互垂直的两条直线、都过点.（Ⅰ）若、都和圆相切，求直线、的方程；（Ⅱ）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线、都相切，求圆的方程；（Ⅲ）当时，求、被圆所截得弦长之和的最大值.解答：（Ⅰ）显然，、的斜率都是存在的，设，则……………………………………………………………………………………………1分则由题意，得，………………………………………………3分解得且，即且……………………………5分∴、的方程分别为与或与……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）设圆的半径为，易知圆心到点的距离为，∴………………………………………………………9分解得且，∴圆的方程为………………………11分（Ⅲ）当时，设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为，弦长分别为，因为四边形是矩形，所以,即，化简得…………………………………14分从而，即、被圆所截得弦长之和的最大值为…………………………………16分19．(本小题满分16分)设函数.（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）存在，使得成立，求的取值范围；（Ⅲ）若对恒成立，求的取值范围．解答：（Ⅰ）解答：(Ⅰ)因为当时，，所以在上单调递减，………………………………………………………3分12/12\n又，所以当时，……………………………………………4分(Ⅱ)因为，所以，由(Ⅰ)知，当时，，所以………………………6分所以在上单调递减，则当时，………………………8分由题意知，在上有解，所以，从而………………………10分（Ⅲ）由得对恒成立，①当时，不等式显然成立………………………………………………………11分②当时，因为，所以取，则有，从而此时不等式不恒成立…………………………………………………………………………12分③当时，由(Ⅱ)可知在上单调递减，而，∴，∴成立………………………………………14分④当时，当时，，则，∴不成立，综上所述，当或时，有对恒成立。………………………………………………………………………………………………16分20．(本小题满分16分)数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）当为某等差数列的第1项，第项，第+7项，且，求与；（Ⅲ）求证：数列中能抽取出一个子数列成等比数列的充要条件是为有理数.解答：（Ⅰ）当时，，∴……2分当时，，∴…………………………………………4分12/12\n∴…………………………………………5分（Ⅱ）当时，，则该等差数列的公差为，∴，即①又，所以，即②由①知，为整数或分母为7的既约分数；由②知，为整数或分母为2的既约分数，从而必为整数………………………………………………………………………7分由②知，，结合①得，，所以只能取7，故，………8分又由②得，，设则，因为所以当时，，又，从而，故在上单调递增。则由，知在上无解…………………………10分又，，，所以或，综上所述，当，且或时满足条件……………………………………………11分（Ⅲ）①必要性。若中存在一个子数列成等比数列，设为其中的连续三项。因为，所以，则……………………………………………………12分⑴当时，，即，则，矛盾；⑵当时，，则，所以必要性成立………………13分②充分性。若为有理数，因为，所以可取足够大的正整数，使，因为也为有理数，故可设（其中为互质正整数）。现构造等比数列，使得首项，公比，则…………………………………………14分12/12\n因为，所以，从而，设，则为正整数，则，故必为中的项，即等比数列是的子数列，所以充分性也成立。综合①②知，原命题成立。……………………………………………………………………16分数学附加题21．[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，四边形ABCD内接于圆，弧弧，过A点的切线交CB的延长线于E点．AEBCDO·第21题(A)求证：．证：连结,因为切圆于，所以∠EAB＝∠ACB。因为弧弧，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD，于是∠EAB＝∠ACD………………5分又四边形ABCD内接于圆，所以∠ABE＝∠D，所以△ABE∽CDA.于是,即，所以…………………………10分B．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵,A的一个特征值，其对应的特征向量是.（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）若向量，计算的值.解：（Ⅰ）……………………………………………………………3分（Ⅱ）矩阵A的特征多项式为，12/12\n解得……………………………………………………………6分当时，得；当时，得，由，得，得…………………………………8分∴…………………………………………………10分C．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－)＋6=0．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（Ⅱ）若点在该圆上，求的最大值和最小值．解答：（Ⅰ）；（为参数）……………5分（Ⅱ）因为，所以其最大值为6，最小值为2……………10分D.（选修4—5：不等式选讲）设均为正实数．（Ⅰ）若，求的最小值；（Ⅱ）求证：.解答：（Ⅰ）解：因为均为正实数，由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，∴的最小值为………………………………………………5分（Ⅱ）∵均为正实数，∴，当时等号成立；则，当时等号成立；12/12\n，当时等号成立；三个不等式相加得，，当且仅当时等号成立。……………………………………………………………………10分[必做题]第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22．（本小题满分10分）如图所示，已知曲线，曲线与关于点对称，且曲线与交于点O、A，直线与曲线、、轴分别交于点、、，连结.第22题y（Ⅰ）求曲边三角形（阴影部分）的面积;（Ⅱ）求曲边三角形（阴影部分）的面积.解答：（Ⅰ）易得曲线的方程为…………………………………………2分由，得点，又由已知得………………4分故………………………………………6分（Ⅱ）………………………10分23．(本小题满分10分)已知为等差数列，且，公差.（Ⅰ）试证：；；；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.解答：（Ⅰ）略……………………………………………………………………3分（Ⅱ）结论：………………………12/12\n5分证：①当时，等式成立，②假设当时，成立，那么当时，因为，所以，所以，当时，结论也成立。综合①②知，对都成立…………10分90本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！12/12
