高考理科数学第一次调研考试题数学(理)考试时间120分钟分值：150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．已知集合，，若，则()A．B．C．D．2．是虚数单位，()A．B．C．D．3．设函数若，，则关于的方程解的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知，，则等于()A．B．C．D．5．设函数满足，则等于()A．B．C．D．6．已知数列的前项和，则此数列的奇数项的前项和是()A．B．C．D．7．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是()A．B．C．D．8．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()A．24种B．48种C．96种D．144种9．三个实数a，b，c成等比数列，若有成立，则b的取值范围是()A．B．C．D．12/12\n10．如图，已知A，B，C是表面积为的球面上三点，，，，O为球心，则二面角的大小为()A．B．C．D．11．已知双曲线C：的焦点为、，为双曲线上一点，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．12．若函数，且，设，，则，的大小关系是()A．B．C．D．、的大小关系不能确定二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．的展开式中的系数是．14．若实数，满足则的最大值等于．15．椭圆与直线交于A、B两点，若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为30°，则的值为．16．已知与都是定义在R上的函数，，，，在有穷数列中，任意取前项相加，则前项和大于的概率是．12/12\n三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)在中，、、分别为角A、B、C所对的三边，已知(1)求角A；(2)若，内角B等于，周长为，求的最大值．18．(本小题满分12分)一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的6个黑球和4个红球，某人一次从中摸出2个球(1)如果摸到的球中含有红球就中奖，那么此人中奖的概率是多少?(2)如果摸到的2个球都是红球，那么就中大奖，在有放回的3次摸球中，此人恰好两次中大奖的概率是多少?(3)在(2)的条件下，记为三次摸球中中大奖的次数，求的数学期望．12/12\n19．(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成60°的角。．底面是边长为2的正三角形，其重心为G点(重心为三条中线的交点)。E是线段上一点，且．(1)求证：侧面；(2)求平面与底面所成锐二面角的大小．20．(本小题满分12分)已知函数．(1)当时，求的极小值；(2)若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；(3)设，，且，求的最大值的解析式．12/12\n21．(本小题满分12分)已知，，点满足，记点的轨迹为，直线过点且与轨迹交于、两点．(1)无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值．(2)过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围．22．(本小题满分12分)已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设，数列的前项和为．求证：对任意的，12/12\n晋中市2022年高三年级第一次调研试题数学(理科)参考答案及评分细则一、选择题：题号123456789101112答案BABAACCCCDDA二、填空题：13．14．15．16．（或）三、解答题：17．解：(1)由得：∴又∴……………4分（2），∴同理：……………6分∴∴……………8分故∴时，……………10分18．解：（1）记“从袋中摸出的2个球中含有红球”为事件则…………………………………4分（2）记“从袋中摸出的2个球都是红球”为事件则………………6分3次摸球恰好有两次中大奖相当于作了3次独立重复实验则…………………8分12/12\n(1)中大奖的次数可能取的值为0，1，2，3∴的数学期望为…………12分或19．解法1：(1)延长交于，∵∽，∴，从而为的中点．…………………………2分∵为的重心，∴、、三点共线，且，∴，又侧面内，过作，垂足为，∵侧面底面错误！不能通过编辑域代码创建对象。，∴底面，又侧棱与底面成的角，，∴，，……………………6分在底面内，过作，垂足为，连，由三垂线定理有，又平面与底面的交线为，∴为所求二面角的平面角…………………………8分∴，，∴，在中，…………………………10分从而平面与底面所成锐二面角的大小为…………12分解法2：(1)∵侧面底面，侧棱与底面成60°的角，∴，又，取的中点，则底面．以为原点建立空间直角坐标系如图，…………………1分则，，12/12\n错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。∵为的重心，∴，∵∴∴，∴即……………………………………………3分又侧面，侧面，∴侧面………4分（2）设平面的法向量为，则由及得；可取…………………………………7分又底面的法向量为，…………………………………9分设平面与底面所成锐二面角的大小为，则，…………………………………11分∴…………………………………12分20．（1）∵当时，，令，得或……………2分当时，当时∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为…………………………………4分（2）∵…………………………………6分∴要使直线对任意的总不是曲线的切线，当且仅当，12/12\n∴…………………………………8分（3）因在上为偶函数，故只求在上最大值…9分当时，ⅰ．当，即时，，在上单调递增，此时…………………………………10分ⅱ．当，且即时，在上单调递增，在上单调递减，故………11分…………………………………12分21．解：（1）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，由，，∴，故轨迹的方程为：……………………………………2分（Ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，与双曲线方程联立消得，∴解得……………………………………4分12/12\n，∴故得对任意的恒成立，∴，解得∴当时，……………………………………6分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由，及知结论也成立，综上，当时，……………………………………7分（2），，∴直线是双曲线的右准线，由双曲线定义得：，，…………………8分方法一：∴，∴，故，…………………10分注意到直线的斜率不存在时，，此时，…………………11分综上，……………………………………12分方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有二个交点，12/12\n∴，过作，垂足为，则，∴…………11分由，得，故………………12分22．解：（Ⅰ），∴………2分又，∴数列是首项为3，公比为的等比数列…3分，即………………4分（Ⅱ）………………8分（Ⅲ），∴………………10分当时，则12/12\n，∴对任意的，………………12分本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！12/12
