专题2.11已知不等恒成立，分离参数定最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。俗话说，形缺数时难入微。【典例指引】例1己知函数.（1）若函数在处取得极值，且，求；（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围.法二（直接化为最值＋分类讨论）：令，.令29\n，①当时，，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾.②当时，则开口向上(方案一）：Ⅰ.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即.Ⅱ.若，即时，此时，不合题意.法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则.另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意.29\n例2.(2022全国新课标Ⅱ文20)己知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.法二（直接化为最值）：在恒成立，则(导函数为超越函数）；在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.（2）当即时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为.29\n法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令在为增函数，则在为增函数，又因，故实数的取值范围为法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令.又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.综上，实数的取值范围为.点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。2.(重庆市2022届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.29\n当时，在上单减，上单增，而，矛盾；综上，.法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成立）设，令在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数的取值范围为29\n（2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；综上，实数的取值范围为点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意.（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。（3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当29\n时，零点，故易得，从而导出矛盾。【扩展链接】洛必达法则简介：法则1若函数和满足下列条件：（1)及；（2）在点的去心邻域内，与可导，且；（3），那么.法则2若函数和满足下列条件：（1)及；（2），和在与上可导，且；（3），那么.法则3若函数和满足下列条件：（1)及；（2）在点的去心邻域内，与可导且；（3），那么.利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。②洛必达法则可处理型。③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。29\n【同步训练】1．已知函数.（1）若，求证：当时，；（2）若存在，使，求实数的取值范围.【思路引导】(1)由题意对函数求导，然后构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论；(2)结合题意构造函数，结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是.设h（x）=（x≥e），则h’（x）=u=lnx-，u’=在[e，+∞）递增。x=e时，u=1-＞0，所以u＞0在[e,+00）恒成立，h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以h（x）[e,+∞）递增x≥e，时h（x）min=h（e）=ee需ea＞eea＞e2．已知，是的导函数．29\n（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出的极值；（Ⅱ）讨论以及时，对应函数f（x）的单调性，求出满足在时恒成立时a的取值范围．【详细解析】当时，由（）可得（）.，故当时，，于是当时，，不成立.综上，的取值范围为．29\n3．已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．【思路引导】(Ⅰ)求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令得增区间，得减区间；（Ⅲ）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果.【详细解析】29\n（3）当，即时，在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间.综上所述：当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间.（Ⅲ）因为对于任意，都有成立，则，等价于.令，则当时，..因为当时，，所以在上单调递增.所以.所以.所以.4．已知函数，.(Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.29\n【思路引导】(1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；(2)易得当时，，设，则，设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；法二：(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；(2)同法一.【详细解析】29\n(Ⅱ)当时，，即当时，当时，，设，则，设，则.(1)当时，，从而(当且仅当时，等号成立)在上单调递增，又当时，，从而当时，，在上单调递减，又，从而当时，，即于是当时，，29\n在上单调递增，又，从而当时，，即于是当时，，综合得的取值范围为.当变化时，变化情况如下表：极大值极小值恰有三个根，故过点有三条直线与曲线相切.29\n(Ⅱ)同解法一.5．已知函数（）.（1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；（2）若对恒成立，求的取值范围.（提示：）【思路引导】(1)考查函数的定义域，且，由，得.分类讨论：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为.(2)构造新函数，令，，则，，分类讨论：①当时，可得.②当时，.综上所述，.【详细解析】29\n②当时，令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取得最大值.故只需，即，化简得，令，得（）.令（），则，令，，所以在上单调递增，又，，所以，，所以在上单调递减，在上递增，而，，所以上恒有，29\n即当时，.综上所述，.6．已知函数在点处的切线方程为,且.(Ⅰ)求函数的极值；(Ⅱ)若在上恒成立，求正整数的最大值.【思路引导】(Ⅰ)由函数的解析式可得，结合导函数与极值的关系可得，无极大值.(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数的最大值是5.【详细解析】29\n.∴在区间上递增，在区间上递减，又∵∴当时，恒有；当时，恒有；∴使命题成立的正整数的最大值为.7．已知函数，，其中，.（1）若的一个极值点为，求的单调区间与极小值；（2）当时，，，，且在上有极值，求的取值范围.【思路引导】（1）求导,由题意,可得,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;（2）当时，，求导,酒红色的单调性可得,进而得到.又，，分类讨论,可得或时，在上无极值.若，通过讨论的单调性，可得，或，可得的取值范围.【详细解析】29\n的单调递增区间为，单调递减区间为，.的极小值为.29\n8．已知函数.(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，，证明：.【思路引导】(1)求导,易得结果为;(2)原不等式等价于,令,,令,分,,三种情况讨论函数的单调性,则可得结论;(3)利用定积分求出m的值,由(2)知,当时,,则,令,,求导并判断函数的单调性,求出,即在上恒成立,令,则结论易得.【详细解析】29\n且时，，∴递增，∴(不符合题意)综上：.29\n9．已知函数，为自然对数的底数).(1)讨论函数的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】(1)，分、两种情况讨论的符号，则可得结论；(2)当时，原不等式可化为，令，则，令，则，进而判断函数的单调性，并且求出最小值，则可得结论.【详细解析】(1)①若，，在上单调递增；29\n②若，当时，，单调递减；当时，，单调递增10．设函数.（1）当时,求函数在点处的切线方程；（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）把代入函数解析式，求导后得到函数在点处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，求出函数的导函数，导函数在处，的导数为零，然后由导函数的导函数在上大于零求得的范围，就是满足函数恒成立的实数的取值范围.【详细解析】（1）当时,由，则函数在点处的切线方程为29\n即11．设函数，其中，是自然对数的底数.（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；（Ⅱ）若，证明：.【思路引导】（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II）将原不等式，转化为，令29\n，求出的导数，对分成两类，讨论函数的最小值，由此证得，由此证得.【详细解析】（Ⅱ）.令（），以下证明当时，的最小值大于0.求导得.①当时，，；②当时，，令，则，又，取且使，即，则29\n，12．已知函数（）与函数有公共切线．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围．【思路引导】（1）函数与有公共切线，函数与的图象相切或无交点，所以找到两曲线相切时的临界值，就可求出参数的取值范围。（2）等价于在上恒成立，令，x>0,继续求导，令，得。可知的最小值为>0,把上式看成解关于a的不等式，利用函数导数解决。【详细解析】（Ⅰ），．∵函数与有公共切线，∴函数与的图象相切或无交点．29\n当两函数图象相切时，设切点的横坐标为（），则，（Ⅱ）等价于在上恒成立，令，因为，令，得，极小值所以的最小值为，令，因为，令，得，且极大值所以当时，的最小值，当时，的最小值为，29\n所以．综上得的取值范围为．13．已知函数，.（1）求证：（）；（2）设，若时，，求实数的取值范围.【思路引导】（1）即证恒成立，令求导可证；（2），．又，因为时，恒成立，所以，所以只需考虑。又，所以下证符合。【详细解析】29\n②当时，29
