专题三：数列【考点审视】（本局部内容是根据近几年高考命题规律和趋势透视本单元考察的重点.）本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点.高考对本章考察比较全面,等差、等比数列，数列的极限的考察几乎每年都不会遗漏.就近五年高考试卷平均计算，本章内容在文史类中分数占13％，理工类卷中分数占11％，由此可以看出数列这一章的重要性.本章在高考中常见的试题类型及命题趋势：（1）数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，近几年命题严格按照《考试说明》，不要求较复杂由递推公式求通项问题，例如2022年全国卷一·（15）、（22）.（2）探索性问题在数列中考察较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.（3）等差、等比数列的根本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题，例如2022全国高考·浙江卷·（3）、（17）（文）、（22）均考察了等差、等比数列的性质，还有2022年全国高考·上海卷·（4）、（12）均有提及.（4）求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.16/16\n（5）将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考察.例如2022年全国高考·新课程卷·解答题（19）主要考察了等比数列的性质及递推关系；2022年全国高考·上海卷·解答题（）主要考察了等差数列及证明.通过上述分析，在学习中应着眼于教材的根本知识和方法，不要盲目扩大，应着重做好以下几方面：（1）理解概念，熟练运算（2）巧用性质，灵活自如【疑难点拔】（解释重点、难点及知识体系，尤其是考试中学生常见错案分析.）数列局部的复习分三个方面:①重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用。②掌握等差数列、等比数列的根底知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用。③要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要教给学生科学合理的思维，全面灵活地运用数学思想方法。数列局部重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们比照起来复习；由于数列方面的题目解法的灵活性和多样性，在复习时，要启发学生从多角度思考问题，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质；提倡一题多解，到达事半功倍的效果。错案分析：16/16\n例1.各项均为实数的等比数列的前项和记为，假设，，那么等于__________.[错解一],或.[错因]将等比数列中成等比数列,误解为成等比数列.[错解二]是等比数列,成等比数列其公比为,从而,得或,或,或,或.[错因]无视了隐含条件.[正解]由题设得:①,②,②①得或（舍去），.例2．已知数列的前项和为非零常数），那么数列为（）（A）等差数列（B）等比数列（C）既不是等差数列，又不是等比数列（D）既是等差数列又是等比数列[错解],，（常数），数列为等比数列.[错因]忽略了中隐含条件.[正解]当时,,当时,,16/16\n,为常数,但,数列从第二项起为等比数列,选C.例3.某种细菌在培养过程中,每分钟分裂一次(一个分裂成二个)经过h这种细菌由一个可繁殖成_________个.[错解一]由题意每次分裂数构成等比数列,公比为,共繁殖次,个[错解二]由题意每次分裂数构成等比数列,公比为,共繁殖次,细菌由一个可繁殖成[正解]由题意知,每次分裂细菌数构成等比数列,,公比,共分裂次,第次应为,(个)例4.一个球从高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半,当它第次着地时,共经过了多少米?[错解]因球每次着地后跳回到原高度的一半,从而每次着地之间经过的路程构成一个等比数列,.[错因]每两次着地之间经过的路程应为上、下路程之和;而第一次从落下时只有下的路程,应单独计算.16/16\n[正解].例5.在等差数列中,已知,前项和为,且,求当取何值时,有最大值,并求它的最大值.[错解]设公差为,,,得,即,,当时,,,当时,有最大值.[错因]仅解不等式是不正确的,应解.[正解]由,解得公差,,,.所以,当或时,有最大值为.[例6]一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄元一年定期，假设年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，那么取回的钱的总数为多少？[错解]年利率保持不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那么年时取出的钱数应为以为首项，公比为的第项，即16/16\n[错因]上述解法只考虑了孩子出生时存入的元，到年时的本息，而题目的要求是每年都要存入元。[正解]不妨从每年存入的元到年时产生的本息入手考虑，出生时的元到年时变为，岁生日时的元到岁时变为，……岁时的元到岁时变为从而知，如此存款到岁时取回的钱的总数应为：专题三：数列【经典题例】例1：已知下面各数列的前项的和为的公式，求数列的通项公式。（1）且；（2）假设数列的前项和。[思路分析]：（1）当时，，用累乘法、迭代法可求得。16/16\n（2）当时，，由于不适此式，所以。[简要评述]：由求的唯一途径是，注意分类思想在此题中的应用以及累乘、迭代等方法的应用。例2：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。[思路分析]：方法一：利用等差数列的求和公式处理，由及得，，依二次函数性质可知，当时，取最大值，且最大值是。方法二：数形结合处理，由等差数列的求和公式可得，的图象是开口向下的抛物线上的一群离散点，最高点的横坐标为，即最大，易求得最大值为。方法三：利用等差数列的性质处理，由可得，又，从而，，，故最大。16/16\n[简要评述]：数列是特殊的函数，因此求最值问题就是一个重要题型，又因为等差数列前项和一般是不含常数项的二次函数，因此，求最大值可用二次函数法求之，也可根据对称轴来判断，由于数列的特殊性还可以把通项公式写出来，由或来解决，特别注意，用（）时，假设解得，是正整数时，说明中有为的项，因此前项和最大（最小）有两项且它们相等。例3：设数列的前项和为，那么的值为（）（A）（B）（C）（D）[思路分析]：方法一：特殊值法，由原数列知，在选择支中只有（D）满足。方法二：看通项，，。[简要评述]：方法一对解答复杂的选择题有简化计算的作用，方法二利用通项求，为求和的通法。例4：某城市年末汽车保有量为万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过万量，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？[思路分析]：如果设每年新增汽车数为万辆，那么递推或归纳出各年汽车保有量的关系，即有。从而。，。16/16\n下面要求的取值范围是在的前提下：当为递减函数（或常数），即，这时，符合题意；当时，递增，而，因而限定，得（万辆），这样二者求并集即可。要注意。[简要评述]：不能归纳或探索出汽车在相邻年份的保有量的关系是解此题的最大障碍，另外由，可得出，这也是一个重要方法。【热身冲刺】一、选择题：1．在等差数列中，，那么（）（A）（B）（C）（D）以上都不对解析：，，。答案：A2．直角三角形三边成等比数列，公比为，那么的值为（）（A）（B）（C）（D）解析：设三边为，当时，有，得；当时，有，得。答案：D3．在等比数列中，和是二次方程的两个根，那么的值为（）16/16\n（A）（B）（C）（D）解析：根据韦达定理，有，又因为，那么，所以。答案：A4．假设等差数列的公差，那么（）（A）（B）（C）（D）与的大小不确定解析：。答案：B5．在数列中，已知，那么等于（）（A）（B）（C）（D）解析：，，。答案：D6．设为等差数列的前项和。已知。那么等于（）（A）（B）（C）（D）解析：，，，答案：B7．记数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为，第项及以后各项的和为，假设，，，16/16\n，那么等于（）（A）（B）（C）（D）解析：。答案：B8．等差数列中，，假设且，，那么的值为（）（A）（B）（C）（D）解析：由题设得，而，，又，，。答案：C9．弹子跳棋共有颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它们叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（）（A）颗（B）4颗（C）颗（D）颗解析：最上面一层放1个，设最上一层是第一层，由上而下共有层，第层弹子数为，总弹子数为，由得，故时剩余最小，且剩余颗。答案：B16/16\n10．三个数成等比数列，且，那么的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）解析：设，那么有。当时，，而，；当时，，即，而，那么，故。答案：D二、填空题：11．等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，那么其中间项为______________.解析:依题意,中间项为,于是有解得.答案：12．假设数列满足,那么通项公式_____________.解析:由,得,这说明数列是首项为，公比的等比数列，于是有，即。答案：13．对于每一个正整数，抛物线与轴交于两点，那么的值为______________。解析：令得，，16/16\n。答案：14．已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有，且，那么______________。解析：由知函数当从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，形成一个首项为，公差为的等差数列，。答案：三、解答题：15．已知数列满足。（1）求；（2）证明：。（1）解：。（2）证明：由已知，故,所以证得。16．已知函数，当时，，求数列的通项公式与。解：由，得，即,16/16\n,所以，数列是以首项，公差为的等差数列。,，。17．已知等比数列的前项和为，且。（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。解：（1）时，。而为等比数列，得，又，得，从而。又。（2），得，。18．假设型汽车关税在年是，在年是，年型进口车每辆价格为万元（其中含万元关税税款）。（1）已知与型车性能相近的型国产车，年的价格为万元，假设型车的价格只受关税降低的影响，为了保证在年型车的价格不高于型车价格的，型车的价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？16/16\n（2）某人在年将万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息记入第年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆（1）中所述降价后的型汽车？解：（1）因为型车年关税税款为年关税税款的，故所减少了的关税税款为（万元）。所以，年型车的价格为（万元）。因为在年型车的价格不高于型车价格的，所以有：型车价格（万元）。因为年型车的价格为万元，故五年中至少要降价万元。所以平均每年至少降价万元。（2）根据题意，年存入的万元年后到期时连本带息可得（万元）。因为（万元），所以够买一辆（1）中所述降价后的型汽车。19．设函数的最小值为，最大值为，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：。解：（1）由已知函数式可得，，由已知可知，令，得，已知函数最小值为，最大值为，，16/16\n，。（2），。又，。因此，。20．设平面上有直线，曲线。又有以下方式定义数列：（1）；（2）当给定后，作过点且与轴平行的直线，它与的交点记为；再过点且与轴平行的直线，它与的交点记为，定义为的横坐标。试求数列的通项，并计算。解：显然，的坐标可写为，的坐标写为，故有，，两边取对数并整理得：，从而得，即，，，，，。16/16
