2022高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD）第六章数列2022年高考题三、解答题22.（2022全国卷Ⅰ理）在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考察构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和根底知识、根本方法根本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。23.（2022北京理）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；38/38\n（Ⅱ）证明：，且；（Ⅲ）证明：当时，成等比数列.【解析】此题主要考察集合、等比数列的性质，考察运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.由于都属于数集，∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，由于，∴，故.从而，∴.∵，∴，故.由A具有性质P可知.又∵，∴，从而，∴.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，38/38\n∵，∴，∴，由A具有性质P可知.，得，且，∴，∴，即是首项为1，公比为成等比数列.24.（2022江苏卷）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。【解析】本小题主要考察等差数列的通项、求和的有关知识，考察运算和求解的能力。总分值14分。（1）设公差为，那么，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2)（方法一）=,设，那么=,所以为8的约数38/38\n（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。25（2022江苏卷）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数≥2，有.【解析】[必做题]本小题主要考察概率的根本知识和记数原理，考察探究能力。总分值10分。26.（2022山东卷理)等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记38/38\n证明：对任意的，不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，,那么,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.②假设当时不等式成立,即成立.那么当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:此题主要考察了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基此题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.27.（2022广东卷理）知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；38/38\n（2）证明：.解：（1）设直线：，联立得，那么，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，那么，令，得，给定区间，那么有，那么函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，那么有，即.28（2022安徽卷理）首项为正数的数列满足（I）证明：假设为奇数，那么对一切都是奇数；（II）假设对一切都有，求的取值范围.38/38\n解：本小题主要考察数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考察推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考察学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题总分值13分。解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，那么由递推关系得是奇数。根据数学归纳法，对任何，都是奇数。（II）（方法一）由知，当且仅当或。另一方面，假设那么；假设，那么根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。（方法二）由得于是或。因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。29.（2022江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有（1）当时，求通项（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有38/38\n解：（1）由得将代入化简得所以故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2)由题设的值仅与有关,记为那么考察函数,那么在定义域上有故对，恒成立.又,注意到,解上式得38/38\n取,即有.30.(2022湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。解（I）在中，令n=1，可得，即当时，，..又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.(II)由（I）得，所以由①-②得于是确定的大小关系等价于比较的大小38/38\n由可猜测当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜测也成立综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时31.（2022四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？假设存在，找出一个正整数；假设不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；解（I）当时，又∴数列是首项为，公比为的等比数列，38/38\n∴，…………………………………3分（II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知∴当n为偶数时，设∴当n为奇数时，设∴∴对于一切的正整数n，都有∴不存在正整数，使得成立。…………………………………8分（III）由得又，当时，，当时，38/38\n32.（2022湖南卷文）对于数列,假设存在常数M＞0,对任意的，恒有,那么称数列为数列.（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出以下两组判断：A组：①数列是B-数列,②数列不是B-数列;B组：③数列是B-数列,④数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；(Ⅲ)假设数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。解:（Ⅰ）设满足题设的等比数列为,那么.于是==所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列.（Ⅱ）命题1：假设数列是B-数列，那么数列是B-数列.此命题为假命题.事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，.38/38\n由n的任意性知，数列不是B-数列。命题2：假设数列是B-数列，那么数列不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有,即.于是,所以数列是B-数列。（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）(Ⅲ)假设数列是B-数列，那么存在正数M，对任意的有.因为.记，那么有.因此.故数列是B-数列.33.(2022陕西卷理)已知数列满足，.猜测数列的单调性，并证明你的结论；（Ⅱ)证明：。证明（1）由由猜测：数列是递减数列38/38\n下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，，结论成立当时，易知34.（2022四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记（I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？假设存在，找出一个正整数；假设不存在，请说明理由；38/38\n（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；解（I）当时，又∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，…………………………………3分（II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知∴当n为偶数时，设∴当n为奇数时，设∴∴对于一切的正整数n，都有∴不存在正整数，使得成立。…………………………………8分（III）由得38/38\n又，当时，，当时，…………………………………14分35.（2022天津卷理）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+,=-+…..+(-1,n(I)假设==1，d=2，q=3，求的值；(II)假设=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；(Ⅲ)假设正数n满足2nq，设的两个不同的排列，，证明。本小题主要考察等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等根底知识，考察运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，总分值14分。（Ⅰ）解：由题设，可得所以，（Ⅱ）证明：由题设可得那么①38/38\n②①式减去②式，得①式加上②式，得③②式两边同乘q，得所以，(Ⅲ)证明：因为所以（1）假设，取i=n（2）假设，取i满足且由（1）,(2)及题设知，且①当时，得即，…，又所以38/38\n因此①当同理可得，因此综上，36.（2022四川卷理）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。本小题主要考察数列、不等式等根底知识、考察化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。解：（Ⅰ）当时，又数列成等比数列，其首项，公比是……………………………………..3分38/38\n（Ⅱ）由（Ⅰ）知=又当当（Ⅲ）由（Ⅰ）知一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设那么>对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有38/38\n当n为偶数时，设那么<当n为奇数时，设那么<对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分37.（2022年上海卷理）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1）假设，是否存在，有说明理由；（2）找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；（3）假设试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。[解法一]（1）由，得，．．．．．．2分整理后，可得，、，为整数，不存在、，使等式成立。．．．．．．5分38/38\n（2）假设，即，（*）（ⅰ）假设那么。当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．7分（ⅱ）假设，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分【解法二】设那么（i）假设d=0，那么（ii）假设（常数）即，那么d=0，矛盾综上所述，有，10分（3）设.，.13分取15分38/38\n由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.说明：第（3）题假设学生从以下角度解题，可分别得局局部（即分步得分）假设p为偶数，那么am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数故此等式不成立，所以，p一定为奇数。当p=1时，那么am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立1分当p=3时，那么am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,4m+9=3k成立2分当p=5时，那么am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在故不是所有奇数都成立.2分38.(2022重庆卷理）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．（Ⅰ）假设，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；（Ⅱ）假设每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；38/38\n解：（I）因是公比为d的等比数列，从而由，故解得或（舍去）。因此又。解得从而当时，当时，由是公比为d的等比数列得因此（II）由题意得有①得④由①，②，③得，故.⑤又，故有.⑥下面反证法证明：假设不然，设假设取即，那么由⑥得，而由③得38/38\n得由②得而④及⑥可推得（）与题设矛盾同理假设P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否那么，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而又，由④和⑥得因此由⑤得15.（2022湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，那么捕捞强度b的38/38\n最大允许值是多少？证明你的结论.解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为（II）假设每年年初鱼群总量保持不变，那么xn恒等于x1，n∈N*，从而由（*）式得因为x1>0，所以a>b.猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（Ⅲ）假设b的值使得xn>0，n∈N*由xn+1=xn(3－b－xn),n∈N*,知0<xn<3－b,n∈N*,特别地，有0<x1<3－b.即0<b<3－x1.而x1∈(0,2)，所以由此猜测b的最大允许值是1.下证当x1∈(0,2)，b=1时，都有xn∈(0,2),n∈N*①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0,2),那么当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk )>0.又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0,2)，故当n=k+1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).综上所述，为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0，n∈N*，那么捕捞强度b的最大允许值是1.15.（2022聊城一模）过点P（1，0）作曲线的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M238/38\n在x轴上的投影是点P2，…。依此下去，得到一系列点M1，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构成数列为。（1）求证数列是等比数列，并求其通项公式；（2）求证：；（3）当的前n项和Sn。解：（1）对求导数，得的切线方程是当n=1时，切线过点P（1，0），即0当n>1时，切线过点，即0所以数列所以数列（2）应用二项公式定理，得（3）当，同乘以两式相减，得所以38/38\n16.（2022闵行三中模拟）已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数图像上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。⑴求数列{yn}的通项公式，并证明{yn}是等差数列；⑵证明xn+2-xn为常数，并求出数列{xn}的通项公式；⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？假设有，求出此时a值；假设不存在，请说明理由。解：（1）(nÎN),∵yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列………………4分（2）因为与为等腰三角形.所以，两式相减得。………………7分注：判断得2分，证明得1分∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6，…，x2n都是公差为2的等差数列，………………6分∴………………10分（3）要使AnBnAn+1为直角三形，那么|AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).Þ2(1-a)=2()Þa=(n为奇数，0＜a＜1)(*)取n=1，得a=，取n=3，得a=，假设n≥5，那么(*)无解；………………14分当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1)(*¢)，38/38\n取n=2，得a=,假设n≥4，那么(*¢)无解.综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、.………………18分三、解答题1.（2022上海卢湾区4月模考）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都满足：，其中为实数.（1）求数列的通项公式；（2）假设为杨辉三角第行中所有数的和，即，为杨辉三角前行中所有数的和，亦即为数列的前项和，求的值.解：（1）由已知，，相减得，由得，又，得，故数列是一个以为首项，以为公比的等比数列.（4分）从而；（6分）（2），（7分）又，故，（11分）于是，当，即时，，当，即时，，当，即时，不存在.（14分）2.（2022临沂一模）已知单调递增的等比数列｛an｝满足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项。（I）求数列｛an｝的通项公式;（II）假设bn=,sn=b1+b2+┉+bn,求sn+n•>50成立的正整数n的最小值。解：(I)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，38/38\n依题意，有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8,∴a2+a4=20┉┉┉┉┉┉┉┉2分∴解之得或┉┉┉┉┉┉┉┉4分又{an}单调递增，∴q=2,a1=2,∴an=2n┉┉┉┉┉┉┉┉6分(II),┉┉┉┉┉┉┉┉7分∴①∴②∴①-②得＝┉10分∴即又当n≤4时,,┉┉┉┉┉┉┉┉11分当n≥5时,.故使成立的正整数n的最小值为5.┉┉┉┉┉┉┉┉12分3.（2022青岛一模）已知等比数列的前项和为（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，为数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由得:时，………………………2分是等比数列，，得……4分（Ⅱ）由和得……………………6分38/38\n……10分………………………11分当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有………………………13分综上：当时有；当时有………………………14分4.（2022日照一模）已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，满足关系式（I）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正整数，总有解：（I）由已知得故38/38\n即故数列为等比数列，且又当时，………………………………6分而亦适合上式…………………………………8分（Ⅱ）所以………………………………12分5.（2022泰安一模）已知数列｛a｝中，，点在直线y=x上，其中n=1,2,3….(I)令，求证数列｛b｝是等比数列；(II)球数列的通项解：（I）38/38\n又6.（2022上海奉贤区模拟考）已知点集，其中，，点列在L中，为L与y轴的交点，等差数列的公差为1，。（1）求数列的通项公式；（2）假设＝，令；试用解析式写出关于的函数。（3）假设＝，给定常数m(),是否存在，使得，假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由。（1）y＝·＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1-----(1分)与轴的交点为，所以；-----(1分)所以，即，-----(1分)38/38\n因为在上，所以，即-----(1分)（2）设（），即（）----(1分)（A）当时，----(1分)==，而，所以----(1分)（B）当时，----(1分)==，----(1分)而，所以----(1分)因此（）----(1分)（3）假设，使得，（A）为奇数（一）为奇数，那么为偶数。那么，。那么，解得：与矛盾。----(1分)（二）为偶数，那么为奇数。那么，。那么，解得：（是正偶数）。----(1分)（B）为偶数（一）为奇数，那么为奇数。那么，。那么，解得：（是正奇数）。----(1分)38/38\n（二）为偶数，那么为偶数。那么，。那么，解得：与矛盾。----(1分)由此得：对于给定常数m()，这样的总存在；当是奇数时，；当是偶数时，。----(1分)7.（2022枣庄一模）设数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列解：（1）是首项为的等比数列2分4分当仍满足上式。注：未考虑的情况，扣1分。（2）由（1）得，当时，8分两式作差得38/38\n12分8.（2022冠龙高级中学3月月考）由函数确定数列，，函数的反函数能确定数列，，假设对于任意，都有，那么称数列是数列的“自反数列”。(1)假设函数确定数列的自反数列为，求的通项公式；(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，假设，为数列的前项和，为数列的调和平均数，求；(3)已知正数数列的前项之和。求的表达式。解：(1)由题意的：f–1(x)==f(x)=，所以p=–1，所以an=(2)an=，dn==n，Sn为数列{dn}的前n项和，Sn=，又Hn为数列{Sn}的调和平均数，Hn=====(3)因为正数数列{cn}的前n项之和Tn=(cn+)，所以c1=(c1+)，解之得：c1=1，T1=1当n≥2时，cn=Tn–Tn–1，所以2Tn=Tn–Tn–1+，Tn+Tn–1=，即：=n，所以，=n–1，=n–2，……，=2，累加得：38/38\n=2+3+4+……+n，=1+2+3+4+……+n=，Tn=18.(湖北省黄冈市麻城博达学校2022届三月综合测试)把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原那么排成如下三角形数表：1357911－－－－－－－－－设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数。（Ⅰ）假设，求的值；（Ⅱ）已知函数的反函数为，假设记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和。解：（Ⅰ）∵三角形数表中前行共有个数，∴第行最后一个数应当是所给奇数列中第项，即。因此，使得的是不等式的最小正整数解。由得，∴。∴。第45行第一个数是，∴（Ⅱ）∵，∴。∵第行最后一个数是，且有个数，假设将看成第行第一个数，那么第行各数成公差为的等差数列，故。∴。38/38\n故。用错位相减法可求得19.(2022江苏省南京市)14．已知正项数列{an}满足Sn+Sn－1＝ta+2(n≥2，t>0)，a1＝1，其中Sn是数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为Tn，假设Tn＜2对所有的n∈N*都成立．求证：0＜t≤1解：∵a1＝1由S2+S1＝ta+2，得a2＝ta，∴a2＝0（舍）或a2＝，Sn+Sn－1＝ta+2①Sn－1+Sn－2＝ta+2(n≥3)②①－②得an+an－1＝t（a－a）（n≥3），（an+an－1）[1－t（an－an－1）]＝0，由数列{an}为正项数列，∴an+an－1≠0，故an－an－1＝（n≥3），即数列{an}从第二项开场是公差为的等差数列．∴an＝（2）∵T1＝1＜2，当n≥2时，Tn＝t++++…+＝t+t2(1－)＝t+t2要使Tn<2,对所有的n∈N*恒成立，只要Tn＝t+t2＜t+t2≤2成立，∴0＜t≤1．20.(2022山西实验中学模拟)正项数列（1）求；（2）试确定一个正整数N，使当n>N时，不等式成立；38/38\n（3）求证：解：（1）………………………………4分（2）由（3）将展开，…………1438/38
