本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2022届高考数学快速提升成绩题型训练——圆锥曲线1.已知常数m>0，向量a=(0,1)，向量b=(m,0)，经过点A(m,0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(-m,0)，以λb-4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．(1)求点P的轨迹E； (2)假设，F(4,0)，问是否存在实数k使得以Q(k,0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF|+|NF|=．假设存在求出k的值；假设不存在，试说明理由．2双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F1、F2，直线过F2且与直线F1F2的夹角为，且，与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.3.在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，.过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，.记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.（1）求曲线C的方程；（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，假设，证明23/23\n4.已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。（1）求双曲线C的标准方程；（2）假设直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。假设，求双曲线的方程。9.已知圆：x2+y2=c2(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数；⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。10.已知点（x,y）在椭圆C：（a＞b＞0）上运动⑴求点的轨迹C′方程；23/23\n⑵假设把轨迹C′的方程表达式记为：y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。11.已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点；又函数的图像的一条对称轴的方程是。（1）求椭圆的离心率与;（2）对于任意一点,试证:总存在角使等式:成立.12.已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？13.如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.14.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.（1）求双曲线C的方程；23/23\n（2）假设在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.15.设分别是椭圆的左，右焦点。（Ⅰ）假设是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标。（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。16.抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；（3）当时，假设点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围.17.如图，已知点F（1，0），直线为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，假设（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M（－1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k1,k2，求k1+k223/23\n的值；（Ⅱ）假设线段AB上点R满足求证：RF⊥MF。错误！嵌入对象无效。18.已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使（1）求椭圆C的方程；（2）假设PQ为过椭圆焦点F2的弦，且内切圆面积最大时实数的值.19.已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分所成比为λ，点E分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.20.已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.答案：1.解 (1)∵λa+b=(m,λ)，∴直线AP方程为；…………………………①又λb-4a=(λm,-4),∴直线NP方程为；…………………………②23/23\n由①、②消去λ得，即．故当m=2时，轨迹E是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆：x2+y2=4；当m>2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：当0<m<2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆．(2) 假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x-k)2+y2=(4-k)2;椭圆E：；其右焦点为F(4,0)，且．由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2-5kx+20k-30=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),那么有，………………………………………………③△=25k2-4×2(20k-30)，又|MF|=,|NF|=,而；∴+,由此可得 ，……………………………………………………………………④由③、④得k=1，且此时△＞0．故存在实数k=1满足要求．2.解以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，那么所求双曲线方程为（a>0，b>0），设F2（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在双曲线上可得，又，∴，，∴双曲线方程为.3.（1）设点T的坐标为，点M的坐标为，那么M1的坐标为（0，），，于是点N的坐标为，N1的坐标23/23\n为，所以由由此得由即所求的方程表示的曲线C是椭圆.……………………3分（2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l斜率存在，并设为k.直线l的方程为由方程组依题意当时，设交点PQ的中点为，那么又23/23\n而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分（3）由题意有，那么有方程组由（1）得（5）将（2），（5）代入（3）有整理并将（4）代入得，易知因为B（1，0），S，故，所以4.解：（1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得∵且的面积为1∴,∴∴23/23\n∴双曲线C的标准方程为。（2）设，联立得显然否那么直线与双曲线C只有一个交点。即那么又∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)∴即∴∴化简整理得∴，且均满足当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！当时，直线的方程为，直线过定点（，0）∴直线定点，定点坐标为（，0）。5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。23/23\n解：设双曲线的方程为在双曲线上得所以双曲线方程为6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积解：双曲线可化为设由题意可得即所以7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值解：设双曲线的方程为所以渐近线方程为到的距离到的距离*又在双曲线上所以即23/23\n故*可化为8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。假设，求双曲线的方程。解：在半圆上在圆上即又可得所以双曲线方程为9.解：⑴设R(x,y)是圆：x2＋y2=c2上任一点，那么S（x,y）在所求椭圆上的点，设S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圆的方程得：故所求的椭圆方程为：椭圆的长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=与c无关。⑵设直线l的方程为：x=－c＋tcos23/23\ny=tsin(t为参数，为倾斜角)①把①代入圆的方程得：（－c＋tcos）cos2＋(tsin)2=c2整理得：t2－2ccost2=0②设②的两根为t1、t2,解得：t1=0,t2=2ccos把①代入椭圆方程得：（－c＋tcos）2+2(tsin)2=2c2整理得：(1+sin2)t2－2ccost－c2=0③设方程③的两根为t3、t4,由韦达定理：t3＋t4=,t3t4=－，，=又故有：即cos2(1+sin2)2=1整理得：又﹝0，）sin=0=0或sin2=故得：或。综合得：=0或或。10.解：⑴椭圆C：的参数方程为：为参数），又设点是轨迹C′上任意一点，那么轨迹C′的参数方程为：23/23\n（为参数）消去参数得：把换成x,y，所求轨迹C′的方程为：①⑵把方程①表达为函数解析式：，下证函数在上是增函数，在上是减函数。设x1＞x2＞0，作差=②当＞＞＞0时，那么有0＜＜于是得到：0＜＜1故由②式知：＞0＞当＞＞时，那么有＞于是得到：＞1故由②式知：＜0＜故得到函数在上是增函数，在上是减函数。因此在（上有最大值，当且仅当时取到最大值。要使函数在内取到最大值，那么只要＜＜设椭圆半焦距为c，于是有＜＞＜e＜1即符合题意的离心率的取值范围是。23/23\n11.解:1)函数.又,故为第一象限角,且.函数图像的一条对称轴方程式是:得又c为半点焦距，由知椭圆C的方程可化为（1）又焦点F的坐标为（），AB所在的直线方程为（2）（2）代入（1）展开整理得（3）设A（），B（），弦AB的中点N（），那么是方程（3）的两个不等的实数根，由韦达定理得（4）即为所求。23/23\n2）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量根本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数使得等式成立。设由1）中各点的坐标可得：又点在椭圆上，代入（1）式得化为：（5）由（2）和（4）式得又两点在椭圆上，故1有入（5）式化简得：由得到又是唯一确定的实数，且，故存在角，使成立，那么有假设，那么存在角使等式成立；假设由与于是用代换，同样证得存在角使等式：成立.综合上述，对于任意一点，总存在角使等式：成立.12.解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,圆k的半径R=|AK|=∴|MN|=2=2a(定值)∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.23/23\n(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0∴y1y2=y02－a2∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.又|MN|=|y1－y2|=2a∴|y1|+|y2|=|y1－y2|∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.∴0≤x0≤.圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a.且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.13.解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，那么a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)考虑方程组,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=.又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC)∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·=(2≤m≤5)故f(m)=，m∈［2,5］.(2)由f(m)=，可知f(m)=又2－≤2－≤2－23/23\n∴f(m)∈［］故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.14.解：（1）设双曲线C的方程为，那么它的右准线方程为已知得=1，那么=1，所以所求双曲线C的方程是（2）因为点R在直线m上的射影S满足所以PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形.所以点R到直线m:x=的距离为|RS|=即……………………①又所以|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2（xP－xQ－1）=4 XR－2……………………②将②代入①，得又P、Q是过右焦点F2的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中点.所以故所求a的取值范围是a≤－1.15.解：（Ⅰ）易知。，23/23\n联立，解得，（Ⅱ）显然可设联立由得又，又综可知16.（1）由抛物线C的方程得，焦点坐标为（2）设直线PA的方程为23/23\n①②点的解将②式代入①式，得，于是③④⑤又点的解将⑤式代入④式，得，于是由已知得，⑥设点M的坐标为将③式和⑥式代入上式，得所以线段PM的中点在y轴上（3）因为点P（1，－1）在抛物线由③式知将代入⑥式得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为23/23\n故当即17.解：（1）设点由（2）（Ⅰ）由题意直线m斜率存在且不为0，设直线与抛物线方程联立得设（Ⅱ）设动点R18.解：（1）据题意，设椭圆C的方程为23/23\n，∵直线x=4为椭圆C的准线，∴又，∴M为椭圆C短轴上的顶点，∵，∴，△F1MF2为等边三角形∴且，∴椭圆C的方程为（2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，∴当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，那么直线PQ的方程为，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得：那么∴设4k2+3=t，那么t>3，此时23/23\n∵综上，直线PQ与x轴垂直时，△PF1Q的面积最大，且最大面积为3.设△PF1Q内切圆半径为r，那么∴时，△PF1Q内切圆面积最大，此时不存在，直线PQ与x轴垂直，∴19.解（1）由条件得，所以方程（2）易知直线l斜率存在，令由由由由（1）将代入有23/23\n20.解:（1）由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，，故，所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即把（*）及（**）消去a，并注意到，可得本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn23/23
