第9讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望EX＝( )A．2 B．2或C.D．1解析：选C.因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以EX＝.2．(2022·江西省八校联考)在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在[80，120]内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( )A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2解析：选B.P(0<ξ<80)＝[1－P(80≤ξ≤120)]＝(1－0.8)＝0.1.3．(2022·嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )A．5B．5.25C．5.8D．4.6解析：选B.由题意可知，X可以取3，4，5，6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.由数学期望的定义可求得EX＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.4．(2022·河北省监测)已知某高级中学高三学生有2000名，在第一次模拟考试中数学成绩ξ服从正态分布N(120，σ2)，已知P(100<ξ<120)＝0.45，若学校教研室欲按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分及以上的试卷中抽( )A．4份B．5份C．8份D．10份解析：选B.因为P(ξ>140)＝＝0.05，所以从140分及以上的试卷中抽×100＝5份．5．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析：记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1000，0.1)， 所以EY＝1000×0.1＝100.又X＝2Y，所以EX＝E(2Y)＝2EY＝200.4\n答案：2006．(2022·邯郸一模)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的．设男子身高X服从正态分布N(170，72)(单位：cm)，参考以下概率P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9974，则车门的高度(单位：cm)至少应设计为________cm.解析：因为P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，所以P(X≥μ＋2σ)＝＝0.0228，所以车门的高度至少设计为μ＋2σ才符合要求，即为170＋2×7＝184cm.答案：1847．(2022·高考山东卷)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为：0，－1，1，因此P(X＝0)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝1)＝1－－＝.所以X的分布列为X0－11P则EX＝0×＋(－1)×＋1×＝.8．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都为，且面试是否合格相互不影响.(1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数X的分布列和数学期望.解：(1)用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，所以至少有一人面试合格的概率为1－P()＝1－·＝.(2)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝P()＋P(B)＋P(C)＝；4\nP(X＝1)＝P(AC)＋P(AB)＋P(A)＝；P(X＝2)＝P(BC)＝；P(X＝3)＝P(ABC)＝.所以X的分布列为X0123PEX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值．解：(1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为X01234P所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由DY＝a2DX得2.75a2＝11，得a＝±2，又EY＝aEX＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，所以或1．(2022·南昌第一次模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望EY.解：(1)由题知，P(80≤X<85)＝－P(X<75)＝0.2，P(85≤X<95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，所以Y服从二项分布B(3，0.4)，P(Y＝0)＝0.63＝0.216，P(Y＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P(Y＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(Y＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量Y的分布列是Y01234\nP0.2160.4320.2880.064EY＝3×0.4＝1.2.2．(2022·西安地区八校联考)某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：ξ1110120170Pm0.4n且ξ1的期望Eξ1＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p.若乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与ξ2的关系如下表所示：X012ξ241.2117.6204(1)求m，n的值；(2)求ξ2的分布列；(3)若Eξ1＜Eξ2，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围．解：(1)由题意得解得m＝0.5，n＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)，所以ξ2的分布列为：ξ241.2117.6204Pp(1－p)p2＋(1－p)2p(1－p)(3)由(2)可得：Eξ2＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，由Eξ1＜Eξ2，得120＜－10p2＋10p＋117.6，解得：0.4＜p＜0.6，即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)．4
