第6讲模拟方法——概率的应用1．(2022·广州模拟)已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A. B.C.D.解析：选A.试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成所求事件的区域长度为1min，故P＝.2．(2022·高考湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则( )A．p1<p2<B．p2<<p1C.<p2<p1D．p1<<p2解析： 选D.如图，由几何概型可知，总事件区域x∈[0，1]，y∈[0，1]，则p1表示的区域为①，明显p1<，p2表示的区域为①②，明显p2>.故选D.3．(2022·洛阳统考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“x2dx＞”发生的概率为( )A.B.C.D.解析：选C.因为x2dx＝x3|＝a3＞，所以a＞，所以P＝＝.4．任取实数a、b∈[－1，1]，则a、b满足|a－2b|≤2的概率为( )A.B.6\nC.D.解析：选D.建立如图所示的坐标系，因为|a－2b|≤2，所以－2≤a－2b≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a－2b|≤2的概率为＝.5．(2022·石家庄一模)已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A，B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A.B.C．1－D．1－解析：选C.以O为原点建立平面直角坐标系，如图，测绘受磁场干扰的范围是以原点为圆心，半径为的圆及其内部区域，其方程为x2＋y2＝3，测绘点C所在的轨迹方程为x＋y＝2(0≤x≤2)，因此测绘员获得数据不准确的概率为线段AB在圆内的长度与线段AB长度的比值．因为线段AB的长度为2，而O到线段AB的距离为d＝＝，圆O截线段AB所得的弦的长度为2＝2，所以测绘员获得准确数据的概率为1－，故选C.6．(2022·江西省九校联考)已知P是△ABC所在平面内一点，4＋5＋3＝0，现将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是( )A.B.C.D.解析： 选A.由4＋5＋3＝0可得－3＋4(－)＋5(－)＝0，则有＝＋，设C到AB的距离为d，如图所示，＝，＝，则S△ABC＝×|AB|×d，S△PCE＝×6\n|AB|×d＝S△ABC，S四边形ABPE＝××d＝S△ABC，所以S△PBC＝S△ABC＝S△ABC，结合几何概型可得所求的概率为＝.7.如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．解析：设该不规则图形的面积为x平方米，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以根据几何概型的概率计算公式可知＝，解得x＝.答案：8．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则所求概率是.答案：9．(2022·高考重庆卷)在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．解析：因为方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，所以解得<p≤1或p≥2.故所求概率P＝＝.答案：10．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为________．解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，设MABCD的高为h，则×S四边形ABCD×h＝.又S四边形ABCD＝1，所以h＝.若体积小于，则h<，即点M在正方体的下半部分，所以P＝＝.6\n答案：11.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求的长度小于π的概率；(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．解：(1)圆O的周长为4π，所以弧的长度小于π的概率为＝.(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.12．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.因为x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝＝.(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，故所求概率为P2＝＝.1．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率为( )A.B.C.D.解析：选C.6\n程序中不等式组表示的平面区域如图所示，面积为4×××＝4.满足不等式x2＋y2≤1的点表示的区域如图中阴影部分所示，所占面积为π，所以能输出数对(x，y)的概率为.故选C.2．(2022·河北省五校联盟质量检测)已知A(2，1)，B(1，－2)，C，动点P(a，b)满足0≤·≤2且0≤·≤2，其中O为坐标原点，则点P到点C的距离大于的概率为________．解析：由0≤·≤2得0≤2a＋b≤2，由0≤·≤2得0≤a－2b≤2.不等式组在直角坐标平面内所表示的区域如图正方形ODEF，其边长为，令圆C的半径为，由几何概型的概率计算公式可知P到点C的距离大于的概率为＝×＝1－.答案：1－3．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A，B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A，B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．解：设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当|y－x|≤时，6\n姐弟俩会面，又正方形的面积为，阴影部分的面积为，故所求概率P＝＝.4．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依题意＝，得n＝2.(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝2”的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率为P(A)＝＝.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－.6
