第3讲圆的方程1．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4解析：选A.AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2.2．(2022·合肥质检)过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是( )A．点P(a，b)一定在单位圆内B．点P(a，b)一定在单位圆上C．点P(a，b)一定在单位圆外D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上解析：选B.因为2＝(a＋b)2，且⊥，所以a2＋b2＋2ab·＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：选A.由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a，1)，a＞0，又圆与直线4x－3y＝0相切，可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.4．(2022·辽宁省五校联考)直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的取值范围为( )A．k＜－或k＞B．－＜k＜C．－＜k＜D．k＜－或k＞解析：选A.解方程组得交点坐标为(－4k，－3k)．由题意知(－4k)2＋(－3k)2＞9，解得k＞或k＜－，故选A.5．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C的方程为( )A.＋y2＝B.＋y2＝C．x2＋＝D．x2＋＝解析：选C.由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，4\n故圆C的方程为x2＋＝.6．(2022·洛阳统考)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为( )A.B.C．2D.解析：选B.因为直线ax＋by＋1＝0始终平分圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，从而2a＋b－1＝0.a2＋b2－2a－2b＋3＝(a－1)2＋(b－1)2＋1，而(a－1)2＋(b－1)2表示点(1，1)与直线2a＋b－1＝0上任一点距离的平方，其最小值d＝＝，所以a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为＋1＝，故选B.7．(2022·高考陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：圆C的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝18．(2022·太原模拟)已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，而圆心C的坐标是(1，1)，因此最小距离为＝3.答案：39．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．解析：因为圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以其圆心为(－1，2)，且5－a>0，即a<5.又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，所以2＝－2＋b，所以b＝4.所以a－b＝a－4<1.答案：(－∞，1)10．已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为2，则圆的方程为________．解析：由题意设圆心为(m，0)(m＞0)，则圆的半径r＝|1－m|，圆心到直线l：y＝x－1的距离d＝，又直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为2，所以2＝2，整理得|1－m|＝2，解得m＝3(m＝－1不符合题意，舍去)，则r＝2，故圆的方程为(x－3)2＋y2＝4.答案：(x－3)2＋y2＝411．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有4\n解得a＝1，b＝－4，r＝2.所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝＝2，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.1．已知两点A(0，－3)、B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )A．6B.C．8D.解析：选B.如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝.2．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．解：(1)设＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，·＝0，得解得或若＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB>0矛盾．所以舍去，即＝(6，8)．(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2，4\n其圆心C(3，－1)，半径r＝，因为＝＋＝(4，－3)＋(6，8)＝(10，5)，所以直线OB的方程为y＝x.设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)，则解得所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8.因为直线y＝x与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，于是有⇒或由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解之得x＝或x＝0(舍去)．所以存在点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．4
