第5讲椭圆1．(2022·洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(，0)，直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.＋y2＝1 B．x2＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C.依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则有，由此解得a2＝20，b2＝5，因此所求的椭圆方程是＋＝1.2．(2022·淮南模拟)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )A．－21B．21C．－或21D.或21解析：选C.若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，解得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.3．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为( )A．2B．2C．4D．4解析：选D.依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2＝2＝4.4．(2022·烟台质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选A.设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋7\n＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.5．(2022·江西省九校模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆离心率e的取值范围为( )A.B.C.D.解析：选A.设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，结合题目条件可得四边形AFBF′为矩形，则有|AB|＝|FF′|＝2c，结合椭圆定义有|AF|＋|BF|＝2a，而|AF|＝2csinα，|BF|＝2ccosα，则有2csinα＋2ccosα＝2a，则e＝＝＝，而α∈，则α＋∈，那么sin∈，故e∈.6．(2022·唐山质检)已知动点P(x，y)在椭圆C：＋＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1，且·＝0，则||的最小值为( )A.B．3C.D．1解析：选A.由题意得F(3，0)，|PM|2＝|PF|2－|MF|2≥(a－c)2－1＝(5－3)2－1＝3.所以||min＝.7．若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2，所以≤.又<1，所以≤e<1.答案：8．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c7\n)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F1(－c，0)，F2(c，0)，直线y＝(x＋c)过点F1，且斜率为，所以倾斜角∠MF1F2＝60°.因为∠MF2F1＝∠MF1F2＝30°，所以∠F1MF2＝90°，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c.由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，所以离心率e＝＝＝－1.答案：－19．已知P为椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为两焦点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.答案：710．(2022·石家庄一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，∠F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过点F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为点R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为________．解析：延长F1R交F2P的延长线于点R′，则|F1R|＝|RR′|，|F1P|＝|PR′|，所以|R′F2|＝|R′P|＋|PF2|＝|F1P|＋|PF2|＝2a.因为R，O分别是F1R′，F1F2的中点，所以|OR|＝a.同理可得|OS|＝a.因此R，S的轨迹是以原点O为圆心，以a为半径的圆，其方程为x2＋y2＝a2，故R，S所形成的图形的面积为πa2.答案：πa211．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)， 由已知条件得解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.7\n故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.12.(2022·高考陕西卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则7\nx＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝.因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入①得x2＋4x＋8－2b2＝0.所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.1．(2022·济南模拟)在椭圆＋＝1内，通过点M(1，1)且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A．9x－16y＋7＝0B．16x＋9y－25＝0C．9x＋16y－25＝0D．16x－9y－7＝0解析：选C.设过点M(1，1)的直线l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则两式相减可得，＋＝0，即kl＝＝－＝－，故所求的直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0.2．(2022·陕西省五校联考)椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭7\n圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，所以e＝＝.答案：3．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)． (1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解：(1)由已知得c＝2，e＝＝.解得a＝2.又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3.此时，点P(－3，2)到直线l：x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.4．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围．7\n解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，得则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.由根与系数的关系知又由＝2，即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，得－x1＝2x2，故可得＝－2，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不符合题意，所以k2＝>0，解得<m2<4，此时Δ>0，解不等式<m2<4，得<m<2或－2<m<－，所以m的取值范围为∪.7
