第5讲简单几何体的再认识（表面积与体积）1.(2022·陕西省质量检测)一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( )A．3 B．2C.D.解析：选D.由三视图可得该几何体是三棱锥，高为2，底面是直角边长分别为1和2的直角三角形，所以其体积为V＝×2×＝.2．如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为( )A.B.C.D.解析：选A.三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.3．(2022·合肥模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．12＋4B．18＋8C．28D．20＋8解析：选D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S＝2××2×2＋4×2×2＋2×4＝20＋8，故选D.4．(2022·高考重庆卷改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )5\nA.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π解析：选A.由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V1＝××2×1×1＝，半圆柱的体积V2＝×π×12×2＝π，所以V＝＋π.5.(2022·许昌、新乡、平顶山三市联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.B．3πC.D．6π解析：选B.根据几何体的三视图可知该几何体为一个平面截去圆柱上半部分的一半后剩下的部分，所求几何体的体积为V＝π×12×2＋π×12×2＝3π.6．(2022·郑州质量预测)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A．8πB．16πC．32πD．64π解析：5\n 选C.由题可得该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，如图所示(图中的三棱柱截去一部分所剩几何体)，对应主视图是边长为4的正方形，对应的四棱锥的高为2，可知主视图中正方形的中心即为其外接球的球心，则R＝2，则其外接球表面积为S＝4πR2＝32π.7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则棱柱的高h＝________．解析：因为底面周长为3，所以正六边形的边长为，则正六边形的面积为.又因为六棱柱的体积为，即h＝，所以h＝.答案： 8．(2022·高考天津卷改编)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π.答案：π9.如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.解析：设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥FADE的高等于h，于是三棱锥FADE的体积V1＝×S·h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.答案：1∶2410．(2022·太原模拟)已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的体积取最大值时，其外接球的体积为______．解析： 作出直角梯形ABCD如图所示，过C作CE⊥AB于E，则CD＝AD＝1，AC＝，故CE＝EB＝1，故CB＝，故AC2＋BC2＝AB2＝4，即∠BCA＝90°；可知，当平面ADC⊥平面ABC时，5\n三棱锥DABC的体积最大，即为三棱锥BADC的体积最大，此时，将三棱锥BADC补成长方体，可知该长方体的长、宽、高分别为1，1，，故外接球的半径R＝＝1，故其外接球体积V＝πR3＝π.答案：π11.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π.1．(2022·石家庄质检)某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______．解析：由三视图知，该几何体为一个横放着的三棱柱，其底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，三棱柱两底面的中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，设其为r，则r＝＝，则球的表面积为S＝4πr2＝4π·＝.答案：2.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解：(1)直观图如图所示．(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，5\n则四边形AA1EB是正方形，AA1＝BE＝1，在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，所以BB1＝，所以几何体的表面积S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D＝1＋2×1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＝(7＋)(m2)．几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)．所以该几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.3．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体DABC的体积．解：(1)证明：在题图1中，可得AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO平面ADC，从而DO⊥平面ABC，所以DO⊥BC，又AC⊥BC，AC∩DO＝O，所以BC⊥平面ACD.(2)由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC＝2，S△ACD＝2.所以VDABC＝VBACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝.5
