课时提升练(五十) 变量间的相关关系、统计案例一、选择题1．(2022·东营二模)某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－10x＋200，则下列结论正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B．若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则r＝－10C．当销售价格为10元时，销售量为100件D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右【解析】 当销售价格为10元时，＝－10×10＋200＝100，即销售量为100件左右，选D.【答案】 D2．(2022·甘肃联合诊断)对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是＝x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数a的值是( )A. B. C. D.【解析】 依题意可知样本点的中心为，则＝×＋a，解得a＝.【答案】 B3．(2022·湖北高考)根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为＝bx＋a，则( )A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0【解析】 作出散点图如下：10\n10\n观察图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】 B4．(2022·中山四校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】 由表知相关系数r的绝对值越接近于1，线性相关性越强，残差平方和m越小，拟合效果越好，故选丁，即D答案．【答案】 D5．(2022·江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计16365210\n表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别 丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【解析】 A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝＝.B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝＝.C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝＝.D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，K2＝＝.∵<<<，∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．10\n【答案】 D6．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图936)，以下结论正确的是( )图936A．直线l过点(，)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【解析】 由样本中心(，)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．【答案】 A二、填空题7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】 由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.【答案】 0.2548．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k＝≈4.844.10\n则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．【解析】 ∵k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.【答案】 5%9．已知x，y之间的一组数据如下表：x23456y34689对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；④y＝x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．【解析】 由题意知＝4，＝6，∴＝＝，∴＝－＝－，∴＝x－，∴填③.【答案】 ③三、解答题10．某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%)甲校高二年级数学成绩：分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数10253530x乙校高二年级数学成绩：分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数153025y5(1)计算x，y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分)．(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分的为非优秀，根据以上统计数据写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”甲校乙校总计优秀10\n非优秀总计【解】 (1)依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，故x＝10，y＝15，估计甲校平均分为≈75，乙校平均分为≈71.(2)列2×2列联表如下：甲校乙校总计优秀402060非优秀7070140总计11090200k＝≈4.714，又因为4.714＞3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”．11．(2022·郑州模拟)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070若广告费支出x与销售额y回归直线方程为＝6.5x＋a(a∈R)．(1)试预测当广告费支出为12万元时，销售额是多少？(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．【解】 (1)由题意得＝＝5，＝＝50，因为点(5,50)在回归直线上，代入回归直线方程求得a＝17.5，所求回归直线方程为＝6.5x＋17.5，当广告支出为12万元时，销售额＝6.5×12＋17.5＝95.5(万元)．(2)实际值和预测值对应表为10\nx24568y304060507030.543.55056.569.510\n在已有的五组数据中任意抽取两组的基本事件(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)，共10个，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的有(60,50)，共1个，所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为P＝1－＝.12．(2022·西宁模拟)延迟退休年龄的问题，近两年引发社会广泛关注，延迟退休年龄似乎已是一种必然趋势，然而反对的声音也随之而起．现对我市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”持反对态度的人数如下表：月收入(元)[1000，2000)[2000，3000)[3000，4000)[4000，5000)[5000，6000)[6000，7000]频数510151055反对人数4812521(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为月收入以5000为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异？月收入不低于5000元的人数月收入低于5000元的人数合计反对a＝c＝赞成b＝d＝合计附：临界值表k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001参考公式：K2＝，n＝a＋b＋c＋d(2)求在[1000,2000)的被调查对象中随机选取两人进行追踪调查，选中的两人均对“延迟退休年龄”持反对态度的概率．【解】 (1)月收入不低于5000元的人数月收入低于5000元的人数合计反对a＝3c＝293210\n赞成b＝7d＝1118合计104050∵K2＝＝≈6.27＜6.625，∴不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为月收入为5000为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异．(2)在[1000,2000)中被调查对象有5人，不妨设为A，B，C，D，E，其中A，B，C，D为反对，E为赞成，则选取两人的可能性有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共有10种．其中均对“延迟退休年龄”持反对态度的有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共有6种．所以在[1000,2000)的被调查对象中随机选取两人均对“延迟退休年龄”持反对态度的概率为＝.10
