课时提升练(四十六) 抛物线一、选择题1．(2022·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )A. B. C．1 D.【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.【答案】 B2．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )A.B.C．(1,2)D．(1，－2)【解析】 如图，∵点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x＝－1的距离．过Q作x＝－1的垂线QH交抛物线于点K，则点K为取最小值时的所求点．当y＝－1时，由1＝4x得x＝.所以点P的坐标为.【答案】 A3．(2022·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶36\n【解析】 如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN∽△FOA，则＝＝，则|MH|∶|MN|＝1∶，即|MF|∶|MN|＝1∶.【答案】 C4．(2022·辽宁高考)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－B．－1C．－D．－【解析】 ∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，∴＝2，∴p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.【答案】 C5．(2022·郑州模拟)一动圆与直线x＝－1相切且始终过点(1,0)，动圆的圆心的轨迹为曲线C，那么曲线C上的点到直线x＝－1的距离与到直线x＋y＋4＝0的距离和的最小值为( )A.B.C.D.【解析】 设动圆的圆心为M(x，y)，由题意知|x＋1|＝，即y2＝4x，所以动圆的圆心的轨迹C的方程为y2＝4x，由此可知抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设曲线C上的点为P，点P到直线x＝－1的距离为d1，到直线x＋y＋4＝0的距离为d2，由抛物线的定义知d1＝|PF|，所以d1＋d2＝|PF|＋d2，要使d1＋d2最小，只需PF与P在直线x＋y＋4＝0上的垂足Q共线即可，所以(d1＋d2)min＝＝，故选B.【答案】 B6．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A．y2＝±4xB．y2＝±8x6\nC．y2＝4xD．y2＝8x【解析】 由已知得抛物线焦点为F，∴AF所在直线方程为y＝2，∴A，∴S△OAF＝×·＝＝4，∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.【答案】 B二、填空题7．(2022·陕西高考)抛物线y2＝4x的准线方程为________．【解析】 由抛物线y2＝4x，得p＝2，故准线方程为x＝－1.【答案】 x＝－18．(2022·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或k<－1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)9．(2022·重庆高考)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.【解析】 由y2＝2x，得p＝1，焦点F.又|AB|＝，知AB的斜率存在(否则|AB|＝2)．设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．6\n将y＝k代入y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋＝0.(*)∴x1＋x2＝1＋，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，因此x1＋x2＝1＋＝，k2＝24.则方程(*)为12x2－13x＋3＝0，又|AF|＜|BF|，∴x1＝，x2＝.∴|AF|＝x1＋＝＋＝.【答案】 三、解答题10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．【解】 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，∴p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，6\n解得λ＝0或λ＝2.11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解】 (1)将A(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.由得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.另一方面，由直线OA与l的距离d＝可得＝，解得t＝±1.因为－1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.12．(2022·玉溪模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点，(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．【解】 (1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x.消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，6\n∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．6
