课时提升练(四十五) 双曲线一、选择题1．若双曲线－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A. B.C. D．2【解析】 由焦点为(2,0)知，a2＋1＝22，∴a2＝3，a＝，∴离心率e＝＝＝.故选C.【答案】 C2．(2022·北京高考)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )A．m>B．m≥1C．m>1D．m>2【解析】 ∵双曲线x2－＝1的离心率e＝，又∵e>，∴>，∴m>1.【答案】 C3．(2022·漳州模拟)焦点为(0,6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【解析】 设所求双曲线方程为－y2＝λ，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点在y轴上，所以λ＝－12，即双曲线方程为－＝1.【答案】 B4．(2022·广东高考)若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－6\n＝1的( )A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等【解析】 因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线－＝1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为2＝2，离心率为.双曲线－＝1的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为2＝2，离心率为，故两曲线只有焦距相等．故选A.【答案】 A5．(2022·浙江高考)如图861，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )图861A.B.C.D.【解析】 由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，因此对于双曲线有a＝，c＝，6\n所以C2的离心率e＝＝.【答案】 D6．(2022·江西高考)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1【解析】 由得∴A(a，－b)．由题意知右焦点到原点的距离为c＝4，∴＝4，即(a－4)2＋b2＝16.而a2＋b2＝16，∴a＝2，b＝2.∴双曲线C的方程为－＝1.【答案】 A二、填空题7．(文)(2022·北京高考)设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．【解析】 由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝，a＝1，则b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.【答案】 x2－y2＝18．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．【解析】 ∵－＝1，∴A(3,0)，F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.设l：y＝(x－5)，与－＝1联立可求得xB＝，∴yB＝－，∴S△AFB＝|AF||yB|＝×(c－a)×＝×2×＝.6\n【答案】 9．(2022·浙江高考)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．【解析】 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.由得A，由得B，所以AB的中点C坐标为.设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝＝.【答案】 三、解答题10．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解】 设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，∴|MC1|－|MC2|＝2，又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．又a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－6\n)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积．【解】 (1)∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，可得λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：∵点M(3，m)在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝×4×|m|＝6.12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．【解】 (1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，又双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线的方程为－＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴由题意知·(－)＝－1，∴x0＝y0，①依题意，知圆的方程为x2＋y2＝c2，6\n将①代入x2＋y2＝c2得3y＋y＝c2，即y0＝c，∴x0＝c，∴点A的坐标为，代入－＝1(a＞b＞0)得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，∴34－82＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.6
