课时提升练(四十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．(2022·天津高考)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )A．－B.1 C．2 D.【解析】 由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.【答案】 C2．(2022·合肥模拟)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( )A.B.C.D．2【解析】 由两圆相外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，即ab的最大值是，故选C.【答案】 C3．(2022·青岛模拟)过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝( )A.B．2C.D．4【解析】 由题意得OP＝2，OA＝1，OA⊥AP，故∠POA＝60°，∠AOB＝2∠POA＝120°，故AB＝＝，故选A.【答案】 A4．(2022·西宁模拟)若直线l：4x＋3y－8＝0过圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心且交圆C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A．3B.C.D.【解析】 由题易知圆的圆心为，又圆心在直线l上，∴4×－8＝0，解得a＝4，所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，∴|AB|＝4.又∵原点到直线l的距离d＝＝，∴S△OAB＝·|AB|·d＝×4×＝，故选B.5\n【答案】 B5．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )A．[1－2，1＋2]B．[1－，3]C．[－1,1＋2]D．[1－2，3]【解析】 ∵y＝3－，∴1≤y≤3，∴(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即曲线y＝3－表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间．当直线y＝x＋b过点(0,3)时，b＝3；当直线y＝x＋b与y＝3－相切时，由点到直线的距离公式，得2＝，∴|b－1|＝2.结合图形知b＝1－2.∴1－2≤b≤3.【答案】 D6．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5B．10C．15D．20【解析】 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×2×2＝10，选B.【答案】 B二、填空题7．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到直线l的距离的最小值为________．【解析】 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l5\n的距离减去半径，即－＝.【答案】 8．(2022·长春模拟)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.【解析】 两圆方程作差易知公共弦所在的直线方程为y＝，如图，由已知得|AC|＝，|OA|＝2，∴|OC|＝＝1，∴a＝1.【答案】 19．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为________．【解析】 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝－.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上可知，所求直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.【答案】 5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0三、解答题10．已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．【解】 由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.5\n(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝＝，∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.11．已知过点A(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)若O为坐标原点，且·＝12，求k的值．【解】 (1)∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为y＝kx＋1.由＜1，得＜k＜.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1.∴＋8＝12，∴＝4，解得k＝1.5\n12．(2022·太原模拟)已知点E(－2,0)，F(2,0)，曲线C上的动点M满足·＝－3，定点A(2,1)．由曲线C外一点P(a，b)向曲线C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.(1)求曲线C的方程；(2)若以点P为圆心的圆与和曲线C有公共点，求半径取最小值时圆P的标准方程．【解】 (1)设M(x，y)，则＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，∴·＝(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，即曲线C的方程为x2＋y2＝1.(2)∵Q为切点，则PQ⊥OQ，由勾股定理，|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2，又由已知|PQ|＝|PA|，故(a2＋b2)－1＝(a－2)2＋(b－1)2，化简得2a＋b－3＝0，即b＝－2a＋3.设⊙P的半径为R，∵P与曲线C有公共点，∴|R－1|≤|OP|≤R＋1.即R≥|OP|－1且R≤|OP|＋1.而|OP|＝＝＝，故当a＝时，|OP|min＝，此时b＝－2a＋3＝，Rmin＝－1，∴⊙P的标准方程为2＋2＝2.5
