课时提升练(四十一) 两条直线的位置关系一、选择题1．已知p：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，则p是q的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】 由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1.【答案】 A2．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A. B. C．8 D．2【解析】 ∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.【答案】 D3．(2022·河南六市联考)已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )A．过点P且与l垂直的直线B．过点P且与l平行的直线C．不过点P且与l垂直的直线D．不过点P且与l平行的直线【解析】 因为点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0中的常数项C＋(Ax0＋By0＋C)≠C，因此方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l平行的直线，故选D.【答案】 D4．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．x－2y＋4＝0D．x＋y－7＝0【解析】 由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA4\n的方程为x－y＋1＝0，得P(3,4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，∴直线PB的方程为x＋y－7＝0.【答案】 D5．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】 解方程组得交点坐标为.因为0＜k＜，所以＜0，＞0.故交点在第二象限．【答案】 B6．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0【解析】 设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由已知，得＝，∴k＝2或k＝－，∴所求直线的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.【答案】 D二、填空题7．已知点P在直线x＋2y＝5上，且点Q(1,1)，则|PQ|的最小值为________．【解析】 |PQ|的最小值即为点Q(1,1)到直线x＋2y＝5的距离．即d＝＝.【答案】 8．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．【解析】 由得由题意可知m＋4＋5＝0，即m＝－9.4\n【答案】 －99．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．【解析】 当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.【答案】 x＋2y－3＝0三、解答题10．求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程．【解】 由解得∴l1，l2的交点为(1,2)，设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，∵P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝，解得k＝0或.∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.11．在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．【解】 由得即A(－1,0)．设C(x，y)，由角平分线的性质可知，点C关于y＝0的对称点(x，－y)在直线AB上，故kAB＝，即＝，∴y＝－x－1.又直线BC的方程为2x＋y－4＝0.故由得∴C(5，－6)．12．已知点A(3,1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．【解】 由点A(3,1)及直线y＝x，可求得点A关于y＝x的对称点B(1,3)，同样可求得点A关于y＝0的对称点C(3，－1)，如图所示．则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，当且仅当B，M，N，C四点共线时，△AMN的周长最短，为|BC|＝2.4\n由B(1,3)，C(3，－1)可得直线BC的方程为2x＋y－5＝0.由得故M点的坐标为.对于2x＋y－5＝0，令y＝0，得x＝，故N点的坐标为.故在直线y＝x上找一点M，在y＝0上找一点N，可使△AMN的周长最短，为2.4
