课时提升练(四十二) 圆的方程一、选择题1．(2022·湖北荆州中学质检)若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝( )A. B. C. D.【解析】 圆的半径r＝≤1，当有最大半径时圆有最大面积，此时k＝0，r＝1，∴直线方程为y＝－x＋2，则tanα＝－1，且α∈[0，π)，∴α＝.【答案】 A2．(2022·昆明模拟)方程|x|－1＝所表示的曲线是( )A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆【解析】 当x≥1时，方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，当x≤－1时，方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，故原方程表示两个半圆．【答案】 D3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【解析】 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，则⇒代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.【答案】 A4．(2022·杭州模拟)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )A.B.C.D.5\n【解析】 将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤.【答案】 A5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A，B，则△ABP的外接圆方程是( )A．(x－4)2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x－2)2＋(y－1)2＝5【解析】 设圆心为O，则O(0,0)，则以OP为直径的圆为△ABP的外接圆，圆心为(2,1)，半径r＝＝.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【答案】 D6．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )A.2＋y2＝B.2＋y2＝C．x2＋2＝D．x2＋2＝【解析】 由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.【答案】 C二、填空题7．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圆，则m的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________．【解析】 由题意可知(－2)2＋4m2－4(2m2－6m＋9)＞0，即m2－6m＋8＜0，解得2＜m5\n＜4.又圆的半径r＝，∴当m＝3时，r取得最大值1，此时圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1.【答案】 (2,4) (x－1)2＋(y＋3)2＝18．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．【解析】 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.【答案】 x＋y－1＝09．若一三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．【解析】 易得三角形的三个顶点分别是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出图形(图略)，即可判断该三角形为钝角三角形，而能够覆盖钝角三角形且面积最小的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1,2)，(3,1)，即圆的直径为，圆心坐标为，故其方程为(x－2)2＋2＝.【答案】 (x－2)2＋2＝三、解答题10．已知圆x2＋y2＝4上一定点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．【解】 (1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.11．已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．(1)求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求x－2y的最大值和最小值；5\n(3)求的最大值和最小值．【解】 (1)圆心C(－2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝.∴P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为d＋r＝＋1＝，最小值为d－r＝－1＝.(2)设t＝x－2y，则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点．∴≤1.∴－－2≤t≤－2.∴tmax＝－2，tmin＝－2－.即x－2y的最大值为－2.最小值为－2－.(3)设k＝，则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，∴≤1.∴≤k≤.∴kmax＝，kmin＝.即的最大值为，最小值为.12．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【解】 (1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心O(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是5\ny－＝x－，即y＝x－1，所以b＝a－1.①又由在y轴上截得的线段长为4，知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②由①②得：a＝1.b＝0或a＝5，b＝4.当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，由题意可知OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1，∴·＝－1.整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0，将y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13，可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.∴x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0.∴m＝4或m＝－3，∴y＝－x＋4或y＝－x－3.5
