课时提升练(十一) 函数与方程一、选择题1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )A.，0B．－2,0C.D．0【解析】 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，得x＝，又∵x>1，∴此时方程无解，故原函数的零点只有0.【答案】 D2．若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个零点，则实数m的取值范围是( )A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 依题意，Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.【答案】 C3．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下表所示：x0.61.01.41.82.22.63.0f(x)1.161.000.680.24－0.24－0.70－1.00则函数f(x)的一个零点所在的区间是( )A．(0.6,1.0)B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2)D．(2.6,3.0)【解析】 由题表可知，f(1.8)>0，f(2.2)<0，故选C.【答案】 C4．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根【解析】 ∵f(x)在[－1,1]上是增函数，且f·f<0，∴f(x)在上有唯一零点，故方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根．【答案】 C6\n5．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点( )A．y＝f(－x)ex－1B．y＝f(x)e－x＋1C．y＝exf(x)－1D．y＝exf(x)＋1【解析】 由已知可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，又∵f(x0)＝－f(－x0)，∴e－x0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点．【答案】 C6．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A．y＝log2xB．y＝2x－1C．y＝x2－2D．y＝－x3【解析】 y＝log2x的零点是1，y＝x2－2的零点为±，都不在(－1,1)内，y＝－x3的零点是0，在(－1,1)内，但其为减函数，只有y＝2x－1符合要求．【答案】 B7．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4【解析】 令f(x)＝0，则sgn(lnx)＝lnx，sgn(lnx)＝分别作出y＝sgn(lnx)与y＝lnx的图象，由图象可知，它们有三个交点，故函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx有三个零点．故选C.【答案】 C8．(2022·临沂模拟)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则n的值是( )A．－2B．－1C．0D．1【解析】 由题意a>1,0<b<1，∴f(x)为R上的增函数，又f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，∴f(－1)·f(0)<0，因此x0∈(－1,0)，n＝－1.【答案】 B6\n9．(2022·东城模拟)已知函数f(x)＝若x0是y＝f(x)的零点，且0<t<x0，则f(t)( )A．恒小于0B．恒大于0C．等于0D．不大于0【解析】 当x>0时，f′(x)＝－xln3－<0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上递减，若函数存在零点x0，即f(x0)＝0，则当0<t<x0时，f(t)>f(x0)＝0.【答案】 B10．函数f(x)＝|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和等于( )A．2B．4C．6D．8【解析】 由f(x)＝|x－1|＋2cosπx＝0，得|x－1|＝－2cosπx，令g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)，h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)，又因为g(x)＝|x－1|＝在同一坐标系中分别作出函数g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g(x)＝|x－1|关于x＝1对称，又x＝1也是函数h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的对称轴，所以函数g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.6\n【答案】 C11．(2022·辽宁高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为( )A．5B．6C．7D．8【解析】 根据题意，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f(x)＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以当x＝0时，f(x)＝g(x)．当x≠0时，若0<x≤，则x3＝xcos(πx)，即x2＝|cosπx|.同理可以得到在区间，，上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．【答案】 B12．(2022·安徽高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为( )A．3B．4C．5D．6【解析】 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，函数f(x)的两个极值点为x1，x2，则f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，所以x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，所以解关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0，得f(x)＝x1或f(x)＝x2.由上述可知函数f(x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在区间(x1，x2)上单调递减，又f(x1)＝x1＜x2，如图所示．由数形结合可知f(x)＝x1时有两个不同实根，f(x)＝x2有一个实根，所以不同实根的个数为3.【答案】 A二、填空题13．已知函数f(x)＝满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x6\n)＋x的零点个数为________．【解析】 ∵f(0)＝1，∴c＝1，又∵f(0)＋2f(－1)＝0，∴f(－1)＝－1－b＋1＝－，∴b＝.∴当x>0时，g(x)＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1，令g(x)＝0得x＝－或x＝2(舍去)，综上可知，g(x)＝f(x)＋x有2个零点．【答案】 214．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2；函数g(x)＝lg|x|，则函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象在区间[－5,5]内的交点个数共有________个．【解析】 函数y＝f(x)以2为周期，y＝g(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】 815．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．【解析】 画出f(x)＝的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0<m<1，即m∈(0,1)．【答案】 (0,1)16．(2022·天津高考)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．【解析】 画出函数f(x)的图象如图所示．6\n函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a＞0)．当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a＜2.当y1＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2＋(5－a)x＋4＝0.由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，则当1＜a＜2时，两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是1＜a＜2.【答案】 1＜a＜26
